由于車齒工藝運動關系和刀具幾何關系復雜，車齒刀具切削深度在切削過程中不斷變化，且在切削刃不同點上的切削深度不均，導致被切材料幾何呈現出非規則的特點，對切削力、切削熱具有重要影響。首先基于車齒工藝原理和坐標變換方法建立其運動學模型，根據其運動學原理對車齒工藝切削過程進行仿真，運用數值計算方法計算切削過程中產生的切屑的法向厚度，最后分析切削參數進給量以及刀具設計前角和螺旋角對切屑厚度的影響。結果表明：較小的進給量以及較大的刀具螺旋角使切屑厚度更均勻，更有利于刀具參與切削，并且該分析結果可以為切削參數選擇以及刀具結構優化提供理論支撐。

　　車齒工藝是基于雙自由度齒輪嚙合原理的圓柱齒輪加工工藝，具有材料去除率高、成形精度好等優點。與傳統滾齒、插齒相比，車齒工藝加工效率更高，且對內齒輪與非貫通齒輪具有突出的適應性， 因此在 20 世紀初被提出以來即受到廣泛關注。

　　但由于機床和刀具技術限制，車齒工藝存在加工精度低、表面質量差和刀具壽命短等問題，其產業化應用在很長一段時期內未能實現突破。近年來，廣大學者針對加工精度、刀具性能做了廣泛的研究，并取得了一系列成果。

　　車齒刀具作為該工藝研究的重點，很多國內外學者針對刀具切削性能開展深入研究。切削過程中，刀具工作角度、切削深度和切削速度等都與刀具切削性能密切相關，PIERCE在切屑幾何的基礎上分析并創建了切削載荷模型，同時利用此模型對切削力進行了預測。

　　BRUNO 等人運用與切屑厚度相關的 Kienzle 方程分析了前角變化對切削載荷的影響。MOUFKI 等人提出切屑厚度會對切削過程中切屑流向和切削力產生影響，并且 NING提出切屑厚度與切削過程中刀具與工件之間的摩擦力相關。

　　HIDEAKI 等人建立了切削面積與切削力的仿真模型，以提高車削精度以及刀具壽命。以上研究表明，切屑厚度是影響車齒刀具切削性能的一個重要因素。已經有學者對車齒工藝過程中產生的切屑厚度、切屑面積以及刀具工作角度變化從整體上進行了分析，但是由于車齒工藝運動關系以及刀具幾何結構復雜，切屑厚度會因刀具幾何參數以及不同切削刃而變化。

　　鑒于上述原因，深入研究不同影響因素下切屑厚度的變化趨勢，對于優化刀具幾何結構和工藝參數，改善切削性能具有重要意義。

　　本文基于車齒刀具空間幾何數學建模，提出車齒刀具切削刃型線矢量方程式，進而根據車齒工藝運動學提出切屑法向厚度計算模型，實現切屑任意點處的法向厚度的精確描述。最后圍繞刀具工藝參數進給量、車齒刀具螺旋角及其設計前角對切屑法向厚度的影響進行了分析。

　　一、車齒工藝的運動學原理

　　車齒是基于空間交錯軸圓柱齒輪嚙合原理的齒輪加工工藝。車齒工藝運動學原理如圖 1 所示，車齒刀具與齒輪工件軸線中心距為 a，軸交角為 Σ。軸線中心距 a 保證車齒刀具與工件圓柱面相切，Σ 則須保證兩者節圓柱面上的螺旋線相切。

　　齒輪工件和車齒刀具分別以角速度 ω_w 和 ω_c 按給定傳動比同步回轉，同時齒輪工件以給定速度 F 軸向進給。設齒輪工件與車齒刀具的回轉運動傳動比為 i_wc，即有 ω_s = i_wcω_c；設軸向進給與車齒刀具回轉運動的傳動比為 i'，即有 F = i'ω_c。但對于斜齒輪加工，齒輪工件須附加一個差動回轉運動 Δω_w，即 Δω_w = F( tanβ_w /r_w ) ，以上關系同時也確定了齒輪工件回轉角 φ_w 和軸向進給位移 s 兩個參數與車齒刀具回轉角 φ_c 的關系，即:

　　通過坐標變換建立車齒刀具和工件的運動學關系，設定如下坐標系: S₁( O₁-X₁Y₁Z₁ ) 為車齒刀具的靜止參考坐標系，S_c( O_c-X_cY_cZ_c ) 與車齒刀具固聯，并繞 Z₁ 軸回轉，其初始位置與 S₁ 重合。坐標系 S₂ ( O₂- X₂Y₂Z₂ ) 為齒輪工件的靜止參考坐標系，S_w ( O_w - X_w Y_w Z_w ) 與齒輪工件固聯，繞 Z₂ 軸旋轉并軸向移動， 其初始位置與 S₂ 重合。各坐標系之間的變換矩陣為：

　　式中：M_1c 為從坐標系 S_c 至坐標系 S₁ 的變換矩陣；M₂₁為從坐標系 S₁ 至坐標系 S₂ 的變換矩陣；M_w2為從坐標系 S₂ 至坐標系 S_w 的變換矩陣。

　　二、切屑幾何數值仿真計算

　　切屑幾何成形仿真：車齒切削過程中，切屑是由刀具與工件之間的相對運動而形成的，且由于車齒工藝及刀具幾何關系復雜，切屑幾何呈不規則形態，車齒工藝切屑幾何成形過程如圖 2 所示，圖 2 中 L 為左側刃，R為右側刃，T為頂刃。

　　由圖 2 可知，車齒刀具切削刃是其基本鏟形輪齒面與前刀面的交線，在車齒刀具坐標系 S_c 中鏟形輪齒面坐標矢量表示為 r^c_Σ( u，θ) ，u 和 θ 為其坐標參數，前刀面表示為 r^cr( r，ζ) ，r 和 ζ 為其坐標參數。則切削刃曲線需滿足 r^c_Σ(u，θ) = r c r( r，ζ) ，由此可確定 u 與 θ 之間的函數關系 θ = θ(u) ，因此切削刃曲線 E 可表示為具有單一參數變量 u 的空間曲線 r^c_E( u) ，見圖 2 中①右側曲線圖。

　　切削刃空間軌跡曲面是由車齒刀具切削刃根據車齒工藝運動學原理經齊次坐標變換所得，其齊次坐標向量為：

　　式中: x^c_E(u) 、y^c_E(u) 、z^c_E(u) 分別為車齒刀具切削刃上一點關于 u 在坐標系中在 X、Y、Z 軸上的坐標分量。

　　G( u，φ_c) 中前 3 項即為切削刃掃掠面在 Sw 中的坐標矢量參數方程，為簡化表達，本文不做區分，且其參數( u，φ_c) 的意義與前文一致。

　　切削刃空間軌跡曲面 G( u，φ_c ) 表征車齒刀具切削刃對工件齒坯完成的每一次切削，因此切屑幾何模型由切削刃第 i-1 次切削形成的空間軌跡曲面 G^i-1 ( u，φc) 與切削刃第 i 次切削形成的空間軌跡曲面 G_i ( u，φc ) 以及工件外廓 F( φ，z) 共 3 個曲面包圍而成，且車齒切削過程中生成的三維切屑幾何見圖 2 中 ③，該切屑為三維異構型切屑。

　　切屑法向厚度數值計算方法：車齒切削過程生成的切屑法向厚度沿車齒刀具切削刃空間軌跡掃掠面 Gⁱ ( u，φ_c) 上一點的法向計算。切削刃空間軌跡曲面 Gⁱ ( u，φc) 的法向量為:

　　式中：nⁱ 為第 i 次切削形成空間軌跡曲面的法向量；nⁱ _x、nⁱ _y、nⁱ _z 為其坐標分量，其參數均為( u，φ_c ) ，i、j、k 分 別為 X、Y、Z 方向上的單位矢量。

　　圖 3 所示為基于微分幾何原理的切屑網格圖。由于切削刃空間軌跡曲面 Gⁱ ( u，φ_c) 的參數 u 與 φ_c 在其定義域內連續取值，因此基于微分幾何原理，將曲面參數 u 與 φ_c 在其取值范圍內離散形成 m×l 網格，并分別用上標 m、l 對網格節點進行編號。若切削刃空間軌跡曲面 Gⁱ ( u，φ_c) 在離散網格上由參數( u^m，φ^l _c) 確定 的位置切除工件材料，則該位置沿法向 nⁱ ( u^m，φ^l _c ) 的切屑厚度為 hⁱ ( u^m，φ^l _c) 。

　　圖 4 所示為切屑法向厚度計算簡圖。由圖 4 可知，在實際計算過程中，切削刃空間軌跡曲面 Gⁱ ( u， _φc) 在點( u^m，φ^l _c ) 的法向量會先后穿過曲面 G^i-1 ( u，φ_c) 與工件外輪廓 F( φ，z) ，而在相同軌跡曲面上另一網格節點( u^m+j ，φ_c ^i+k ) 處的法向量會先后穿過 2 個曲面的順序發生調換，因此切屑法向厚度需分別計算 Gⁱ ( u，φ_c) 的法向量與 2 個曲面之間形成的切屑厚度值，取兩者之中較小的值作為切屑的實際法向厚度hⁱ ( u^m，φ^l _c) 。

　　實際切屑法向厚度 hⁱ ( u^m，φ^l _c) 為:

　　切削刃空間軌跡曲面 Gⁱ ( u，φ_c) 在點( u^m，φ^l _c) 處與切削刃空間軌跡曲面 G^i-1 ( u，φ_c) 形成的切屑法向厚度 hⁱ _g( u^m，φ^l _c) 為:

　　切削刃空間軌跡曲面 Gⁱ ( u，φ_c) 在點( u^m，φ^l _c) 處與工件外輪廓 F( φ，z) 形成的法向厚度 hⁱ _f ( u^m，φ^l _c) 為:

　　三、結果與分析

　　由切削理論可知，切削參數進給量會直接影響切屑法向厚度，但由于車齒工藝運動復雜性以及齒輪工件的幾何關系復雜，進給量使車齒工藝過程中的切屑法向厚度變化具有不確定性。并且由于車齒刀具結構的復雜性，不同車齒刀具結構會使切屑法向厚度變化具有不確定性，因此基于切屑法向厚度的數值計算方法，對車削過程中不同工件進給量、不同刀具結構參數刀具螺旋角 βc，以及不同刀具設計前角 γ0 生成的切屑的法向厚度進行計算。

　　刀具與工件基本參數如表 4 所示，表 4 中參數為進行切屑法向厚度仿真計算的齒輪與工件的基本參數。

　　進給量對切屑厚度的影響： 理論上，切屑厚度的變化與進給量的變化呈正比，由于車齒刀具與齒輪工件結構復雜，進給量變化對切屑厚度引起的變化存在與理論不一致的可能，因此以進給量 f 為控制變量，當進給量 f 分別為 0.5、1.0 和 1.5 mm /r 時，切屑法向厚度三維曲面圖如圖 5 所示。同時選取左側刃( L) 與右側刃( R) 在車齒刀具鏟形輪齒面分度圓處的切削點 u1、u3 和頂刃(T) 中點 u2 為特征點的不同進給量切削刃上特征點處的切屑法向厚度變化曲線圖如圖 6 所示。

　　由圖 5 所示可知，最大切屑厚度 h 處于車齒刀具不同切削刃的過渡處，且最大切屑厚度與進給量的變化趨勢相反。整體上頂刃處的切屑厚度最大，左側刃 (L) 處大于右側刃(R) 處的切屑厚度。對比圖 5 中 3 幅圖可知，當 f 較大時，左側刃參與切削的范圍與厚度明顯更小，且當 f 足夠大時，右側切削刃不參與切削。

　　分析圖 6 中 3 幅圖可知，進給量對頂刃處切屑法向厚度的影響較小，對左側刃、右側刃和切屑法向厚度的影響較大，且對左側刃與右側刃的影響相反。頂刃處的切屑法向厚度隨著 f 的增大而呈現微量的增加，在左側刃切削刃處，切屑法向厚度隨進給量 f 的增大而減小;在右側刃處，切屑法向厚度隨進給量 f 的增加而減小;并且在進給量 f 每次變化相同的基礎上，切屑法向厚度的變化范圍基本相同。

　　在此案例中，左側刃為切入刃，右側刃為切出刃。由此可見，在切削過程中，f 越大，切入刃切除的切屑法向厚度與范圍越小，且參與切削的時刻越少;而切出刃切除的切屑范圍與法向厚度越大以及參與切削的時刻越多，會加劇車齒刀具切出刃處的磨損以及載荷不均勻的情況。因此，較小的進給量會使刀具兩側刃處的切屑厚度趨于相等，更有利于切削。

　　車齒刀前角的影響： 刀具設計前角( 車齒刀前角) 是車齒刀具設計過程中一個重要的結構參數，以刀具設計前角 γ0 為控制變量，當刀具前角分別為 0°、10°、20°時的切屑法向厚度三維曲面圖如圖 7 所示，提取上述一致的特征切削點得到不同車齒刀具前角切削刃上特征點處的切屑法向厚度曲線，如圖 8 所示。

　　由圖 7 可知，整體上 γ0 對切屑法向厚度的影響很小，并且不影響車齒刀具參與切削的范圍，最大切屑法向厚度變化趨勢與刀具設計前角的變化趨勢呈反比。

　　由圖 8 可知，刀具設計前角主要影響左、右側刃處切出時刻的切屑法向厚度，且其隨著刀具設計前角增大而呈現小幅度的減小，而對頂刃處的切屑厚度幾乎不產生影響。

　　綜上所述，加大刀具設計前角使側刃切出時的切屑法向厚度呈小幅度減小，對頂刃的切屑法向厚度不產生影響，因此，較大刀具設計前角更有利于刀具切削。

　　車齒刀具螺旋角的影響： 車齒刀具螺旋角是影響刀具結構的另一重要參數，以刀具螺旋角 βc 為控制變量，當刀具螺旋角分別為 5°、10°、15°時的切屑法向厚度三維曲面圖如圖 9 所示，提取上述一致的特征切削點得到具有不同車齒刀具螺旋角特征點處的切屑法向厚度曲線，如圖 10 所示。

　　由圖 9 可知，增大刀具螺旋角會減小切屑厚度，且會使刀具切削范圍呈現小幅度的減小。由圖 10 可知，隨著刀具螺旋角的增大，在整個切削過程中，隨著切削時刻的推進，切屑法向厚度減小的速度越快，且左側刃處切屑法向厚度減小的速率大于右側刃。但是由于右側刃原本的切屑法向厚度小于左側刃的切屑法向厚度，選擇過大的刀具螺旋角會使右側刃存在不參與切削的可能，使刀具載荷不均以及磨損更嚴重，因此，增大刀具螺旋角會減小切屑法向厚度，從整體上講更有利于切削，但是不宜過大。

　　四、結語

　　本文基于切屑法向厚度的數值計算方法對不同進給量以及刀具結構參數情況下的切屑法向厚度進行了計算與對比分析，得出以下結論:

　　1) 切削過程中，頂刃處產生的切屑厚度大于兩側刃產生的切屑法向厚度，切出刃處產生的切屑法向厚度大于切入刃產生的厚度;刀具在頂刃處受到的切削載荷與磨損最大，切出刃次之，切入刃最小;

　　2) 較小的進給量能夠使兩側刃處的切屑法向厚度趨于相等，且能使兩側刃處的切削載荷與磨損趨于一致，而對頂刃處沒有改善作用;

　　3) 改變刀具設計前角對切屑法向厚度變化的影響較小，對改善刀具載荷以及磨損的作用較小;

　　4) 增大刀具螺旋角能同時減小 3 條切削刃上的切屑法向厚度，有利于減小刀具切削載荷與磨損，但是需注意螺旋角范圍，不宜選取過大。

　　參考文獻略