隨著我國風電齒輪箱、工程機械、盾構機等大重型設備的高速發展，對大規格、高精密齒輪的需求進一步加大。滿足目前產品制造精度提升的方法是通過 CNC 機床的誤差溯源、測量及補償保證的。在傳統 CNC 磨齒誤差模型中，由于刀具回轉面和工件螺旋面接觸條件求解方法較為復雜，難以獲得解析解，造成后續齒形誤差溯源較困難。因此，提出一種基于“滾?磨”工藝的成形磨齒齒形誤差分析方法，建立磨齒機幾何誤差傳動鏈模型，開發新的補償工藝，顯得尤為重要。
張立功等基于砂輪廓形求解齒輪端面齒形的數值模擬法，分析了安裝角誤差、中心距誤差、切向誤差等對齒形誤差的影響，但缺少完整齒形的誤差分析和對應的補償工藝。秦大同等針對修形斜齒輪的齒形誤差溯源問題，提出了新的修形斜齒輪補償工藝，該方法的補償局限于工藝參數的調整。周寶倉等基于模糊聚類法和最小二乘法，對成形磨齒機的砂輪與工件軸的徑向熱誤差進行分析解耦及補償，雖然提高了成形磨齒機的加工精度，但沒有建立熱誤差對齒形誤差的關聯模型，難以通過齒形精度測量的結果分析其誤差產生的原因。XIA 等基于幾何誤差與齒面誤差的定量映射關系，間接識別了影響磨齒精度的關鍵幾何誤差，完成補償驗證實驗，雖然該方法分析了幾何誤差與齒形誤差的影響，但幾何誤差和齒形誤差的定量映射關系是基于統計學理論建立的，缺少必要的物理學機制分析，模型的精度和穩定性尚需進一步研究。
針對大規格齒輪齒形誤差溯源較困難的問題，本文將該問題轉化為由工藝參數引起的齒輪齒形誤差分析問題，提出了一種“滾?磨”工藝計算方法，分析砂輪的位置誤差(中心距誤差、安裝角誤差、切向誤差)、半徑誤差及齒輪的齒數、螺旋角對齒形誤差的影響，并建立磨齒機幾何誤差傳動鏈模型，對齒輪精度進行測量和補償，為齒形誤差溯源及補償提供科學依據。
一、“滾?磨”工藝運動學模型
滾齒運動學模型
基于磨前滾齒加工中的齒輪與滾刀嚙合原理，建立如圖1 所示的齒輪與磨前滾刀嚙合模型。設 O 點為齒輪節圓與磨前滾刀軸向截面節線嚙合點作在空間固定的坐標系 O?X，Y，Z。再作一個與磨前滾刀軸向截面固聯并隨它移動的坐標系 Oh ?Xh，Yh，Zh。設 Og 為 齒輪圓心作與齒輪 g 固聯并隨它轉動的坐標系 Og ? Xg ，Yg ，Zg 。
設齒輪由起始位置轉過角度 φg，磨前滾刀刀刃軸向截面由起始位置平移 rgφg，p 是齒輪螺旋角的導程，則從滾刀坐標系 Oh ?Xh，Yh，Zh 到齒輪坐標系 Og?Xg，Yg，Zg 的變換關系為：
磨齒反切運動學模型
基于磨齒加工中的齒輪與砂輪嚙合原理，利用磨前齒輪工件反切成形砂輪，建立坐標系如圖 2 所示。Og ?X，Y，Z 是齒輪坐標系，設齒輪端面齒形為計算平面，在其上任意點坐標用點 Q(X，Y)表示，Ow ?X，Y，Z 是砂輪坐標系。經過磨前齒輪反切成形砂輪廓形的相對運動，點 Q 在砂輪坐標系中表示為 P′ = (u′，v′ ，w ′)， 則從 Og?X，Y，Z 到 Ow ?X，Y，Z 的變換式為：
式中，Γ 為砂輪與齒輪的安裝角；a 為砂輪到齒輪的中心距；φ 為齒輪的旋轉角度，φ = 2πξ/p；ξ 為齒輪相對于砂輪在 Z 方向的相對位置。
在砂輪坐標系中，P ′繞著砂輪軸線回轉，總會轉到砂輪坐標系的 xy平面內的 P(x，y)，則砂輪軸向截形上的 P 點坐標計算式為：
大型 CNC 磨齒機幾何誤差模型
大型 CNC 磨齒機主要運動軸由直線軸(X 軸、Y 軸、Z 軸、W 軸)和旋轉軸(C 軸、A 軸)組成，如圖 3 所示。
該 CNC 磨齒機具有尺寸大、質量大、組成環節多的特點，磨齒時會產生位置相關誤差和位置無關誤差，從而造成刀具理論廓形相對于刀具?工件坐系的偏離，其幾何誤差傳動鏈模型如圖 4 所示。
二、齒形誤差來源分析
位置誤差
砂輪位置誤差包含中心距誤差 Δa、安裝角誤差ΔΓ與砂輪切向誤差 Δx，如圖 5 所示。
成形磨齒位置誤差的產生主要與砂輪的安裝、各軸幾何誤差的耦合、及砂輪磨齒時的變形有關。
砂輪半徑誤差
成形磨齒砂輪半徑的改變會影響刀具與工件接觸線的變化，間接產生中心距誤差，如圖 6 所示。
由于砂輪反復修整，使得砂輪外徑逐漸減小，引起砂輪半徑誤差 Δr。
齒數和螺旋角
由于大規格齒輪直徑的不斷增長，齒數 Z 和螺旋角 β 的變化會造成齒輪齒形的改變，進而影響砂輪與齒輪的接觸線嚙合特性。如圖 7a 所示，假設齒輪的齒數增加到非常多的時候，齒形幾乎是一條直線，然而砂輪截形是一條曲線。如圖 7b 所示，不同的齒輪螺旋角使得接觸線的位置和形狀都發生變化。
三、齒形精度分析
基于工件和磨前滾刀的嚙合關系，得到圖 8 所示的某款大型風電齒輪端面齒形展成包絡曲線及設計參數如表 1 所示。
采用1.2 節的計算方法，輸入不同的誤差值，再逆向計算出輸入誤差影響下成形磨削的實際齒形，將該齒形與理論齒形進行比較，計算出齒形誤差，用于齒形精度分析。
中心距誤差 Δa 對齒形精度的影響
Δa迭代步長取值1mm，從 ±1mm ～ ± 6mm，分析其對全齒形的影響；Δa迭代步長取值 2μm，從 ± 2μm ～ ± 20μm，分析其對漸開線齒形的影響，得到的結果如圖 9 所示。
進刀過深會造成齒形壓力角偏大和基節偏小。相反，進刀不足會造成齒形壓力角偏小和基節偏大。
安裝角誤差ΔΓ對齒形精度的影響
ΔΓ 迭代步長取值 0.5°，從 ± 1° ～ ± 3°，分析其對全齒形的影響;ΔΓ 迭代步長取值 0.002°，從 ±0.002° ～ ±0.02°，分析其對漸開線齒形的影響，得到的結果如圖 10 所示。
隨著安裝角誤差正向或負向增大，齒根過渡圓部分理論齒形和實際齒形不重合，齒形曲率發生改變，從而產生齒形壓力角誤差。當 ΔΓ>0時，齒形壓力角減小;當 ΔΓ<0 時，齒形壓力角增大。
切向誤差Δx 對齒形精度的影響
Δx 迭代步長取值1mm，從 ±1mm ～±6mm，分析其對全齒形的影響；迭代步長取值 2μm，從 ±2μm ～ ±20μm，分析其對漸開線齒形的影響，得到的結果如圖11 所示。
左右側齒形誤差產生較均勻，但其左右側齒形不對稱。當 Δx 在 20 μm 以內，對齒形精度影響較小，但會產生較大齒厚誤差。
砂輪半徑誤差 Δr 的影響
Δr 迭代步長取值 1 mm，從 -1mm ～ -10mm，分析其對空間接觸線的曲線變化，如圖 12 所示。
空間接觸線的大小和位置的變化都是在毫米范圍之內，在精磨齒輪工序中，對齒形誤差的要求是極為微小的，因此每次磨齒選擇合適的砂輪半徑是十分重要的。圖 13 是 Δr對齒形誤差偏差的定量影響圖。
圖中，Δr 對齒形的過渡圓和齒根圓幾乎沒有影響，齒形誤差偏差在 ± 0.02 mm 以內;Δr對齒形的漸開線和齒頂圓影響較大，齒形誤差偏差數值最大為 0.12 mm。
齒數 Z 和螺旋角 β 的影響
位置誤差迭代步長取值 0.01 mm(Δa，Δx)和 0.01° (ΔΓ)，初始數值都為 0.01，終止數值都為 0.06，分析其在不同Z和 β 情形下對齒形誤差的影響，如圖 14 所示。
可以知道，Z和 β 增大，位置誤差對齒形誤差的影響較小。綜上所述，對于高精度齒輪精密磨削而言，將 Δa、Δx、ΔΓ 分別控制在 0.01 mm、0.01 mm 和 0.01°以內，滿足磨齒的精度和穩定性，具有重要參考意義。
四、齒形誤差補償
齒形誤差補償主要通過在調整階段反復測量和試磨，基于式(4)和式(5)的算法，將 Δa、Δx、ΔΓ 解耦成幾何誤差，將磨齒機各軸運動補償在誤差范圍以內。在正式磨齒時選擇合適的砂輪半徑就可以制造出高精度齒輪，具體流程如圖 15 所示。
五、磨齒加工試驗驗證
基于齒形誤差分析計算及補償方法，采用激光干涉儀測量 CNC 磨齒機幾何誤差，提高大型 CNC 成形磨齒齒形精度。大規格齒輪加工試驗和 CNC 磨齒機幾何誤差測量試驗如圖 16 所示。
通過以上齒形誤差補償方法，獲得補償前后的齒形精度，根據漸開線圓柱齒輪精度國家標準 GB/T10095.1-2001 對精度等級進行分類，如表 2 所示。
由表 2 可知，總偏差是反映齒形精度的重要檢測值，在該成形磨齒實驗中，大型風電齒輪齒形精度提高到 GB4 級。經補償后傾斜偏差至少可以提高 2 級，但形狀偏差無影響。
六、結論
(1)可以通過仿真圖像中壓力角、基節、齒厚、齒形曲率、齒形誤差的數值變化，對位置誤差進行精準溯源。
(2)中心距誤差的補償與 Z 軸的直線度誤差、俯仰角誤差、偏擺角誤差和 C 軸的徑向誤差有關;安裝角誤差的補償與 Z 軸的俯仰角誤差、偏擺角誤差和 C 軸的傾角誤差有關;切向誤差的補償與 Z 軸的直線度誤差、俯仰角誤差、偏擺角誤差、滾擺角誤差和 C 軸的傾角誤差有關。
(3)基于“滾?磨”工藝的補償算法通過實驗驗證，可以提高總偏差精度等級，對傾斜偏差提升效果明顯，形狀偏差無影響。
參考文獻略