測(cè)量坐標(biāo)系誤差補(bǔ)償及齒面位置匹配：為了便于描述，本文將設(shè)計(jì)坐標(biāo)系下 9×5 的理論點(diǎn) P_t( r_i，_zj )及法矢 n_t( r_i，z_j )簡(jiǎn)寫為 P_ij和 N_ij，對(duì)應(yīng)的測(cè)量數(shù)據(jù)為 Q_ij；其中 i=1，…，9；j=1，…，5。

　　根據(jù)文中第2節(jié)敘述的迭代方法，以|Rk-Rt|≤ ε 為條件退出迭代過程，較為準(zhǔn)確地尋找到了實(shí)際齒面在半徑 R 處的點(diǎn)作為 Xm方向的定位基準(zhǔn)，從而降低了測(cè)量坐標(biāo)系建立過程中的偶然性。此時(shí)如果齒面完全理想，那么結(jié)束迭代時(shí)，在 S_k坐標(biāo)系下，網(wǎng)格中心點(diǎn)的角度值 β_k應(yīng)該非常接近 0；然而在實(shí)際測(cè)量過程中發(fā)現(xiàn)，在齒面半徑為 R，高度為 Z 處的點(diǎn)(實(shí)際齒面網(wǎng)格中心)由于制造誤差的存在，其角度測(cè)量值 β_k與 0 之間有一定差距。這一現(xiàn)象表明，以該點(diǎn)為角向定位基準(zhǔn)建立的測(cè)量坐標(biāo)系包含了該點(diǎn)的制造誤差，從而體現(xiàn)在測(cè)量值 β_k上，因此在面齒輪測(cè)量坐標(biāo)系平面和軸向定位準(zhǔn)確的情況下，可以認(rèn)為測(cè)量坐標(biāo)系與設(shè)計(jì)坐標(biāo)系之間存在繞 Z_m的角度偏轉(zhuǎn)，并且該角度接近 β_k。如圖 8(a)所示，其中 S_d為設(shè)計(jì)坐標(biāo)系，S_k為最終建立的測(cè)量坐標(biāo)系。

圖 8 測(cè)量數(shù)據(jù)與理論數(shù)據(jù)之間的關(guān)系

　　為了減小測(cè)量坐標(biāo)系與設(shè)計(jì)坐標(biāo)系不重合帶來的測(cè)量誤差，提取測(cè)量網(wǎng)格中心點(diǎn) Q₅₃ 柱坐標(biāo) (R_k，β_k，Z_k )中的角度坐標(biāo) β_k，將理論網(wǎng)格 P_ij與法向量 N_ij繞 Zk軸旋轉(zhuǎn) β_k角度轉(zhuǎn)換為新的理論網(wǎng)格 P_ij' 及法矢 N_ij' ，從而將理論數(shù)據(jù)和測(cè)量數(shù)據(jù)統(tǒng)一到同一坐標(biāo)系下，如圖 8(b)所示。以旋轉(zhuǎn)后的網(wǎng)格作為評(píng)價(jià)齒形誤差的新理論網(wǎng)格。P_ij ' 、N_ij ' 可由式 (16)、式(17)求得

　　通過旋轉(zhuǎn)理論網(wǎng)格的位置，補(bǔ)償了由于測(cè)量基準(zhǔn)制造誤差而引起的測(cè)量坐標(biāo)系誤差。對(duì)于整個(gè)測(cè)量網(wǎng)格 Q_ij而言，所有點(diǎn)都是在有誤差的測(cè)量坐標(biāo)系下測(cè)量的，雖然都在實(shí)際齒面上，然而這些點(diǎn)由于測(cè)量坐標(biāo)系偏差會(huì)與理論齒面測(cè)量區(qū)域之間存在一定的扭轉(zhuǎn)錯(cuò)位，如圖 9 所示。為提高測(cè)量結(jié)果的可靠度，在利用測(cè)量點(diǎn)得出誤差數(shù)據(jù)之前，應(yīng)將測(cè)量網(wǎng)格與理論網(wǎng)格進(jìn)行位置匹配。而該策略的基本要求是應(yīng)避免測(cè)量數(shù)據(jù)失真，能反映最真實(shí)的齒面誤差。因此測(cè)量數(shù)據(jù)匹配的任務(wù)可以表示為：給定參考點(diǎn)陣(理論齒面)P_ij ' 和待匹配的測(cè)量點(diǎn)陣 Q_ij，假定兩點(diǎn)陣已經(jīng)非常接近，求 Q_ij的一個(gè)變換 Q_ij' ，使得 Q _ij' 與 Q_ij 最大程度地重合。本文采用兩點(diǎn)陣各點(diǎn)之間的法向距離平方和作為評(píng)判重合度大小的依據(jù)。

圖 9 曲面位置匹配

　　假設(shè)待匹配的測(cè)量點(diǎn)陣 Q_ij與匹配后點(diǎn)陣 Q'_ij 的位置關(guān)系用 3 個(gè)平移量 x、y、z 以及繞 Z 軸和 X 軸的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)量 φ、θ 來表示，變換后的測(cè)量數(shù)據(jù) Q'_ij經(jīng)位置匹配后的坐標(biāo)由式(18)確定。

　　其中

　　為此構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)

　　其中

　　考察目標(biāo)函數(shù)(式(22))中的 5 個(gè)優(yōu)化變量，運(yùn)用本文第 2 節(jié)描述的方法建立測(cè)量坐標(biāo)系的過程中，保證了測(cè)量點(diǎn)陣與理論點(diǎn)陣之間的 3 個(gè)偏移量 x、y、z 在一個(gè)接近 0 的微小區(qū)間內(nèi)，事實(shí)上針對(duì)式(22)中 5 個(gè)變量進(jìn)行無約束優(yōu)化模型求解時(shí)，得到的結(jié)果在數(shù)學(xué)上雖為全局最優(yōu)，但沒有反映齒面真實(shí)的情況，詳細(xì)討論見實(shí)驗(yàn)部分。

　　結(jié)合實(shí)際，為了不使測(cè)量點(diǎn)失真，對(duì) 3 個(gè)偏移量 x、y、z 施加如下約束：

　　式(24)中，偏移量 x、y 的上下邊界可由面齒輪齒坯的同軸度公差確定，偏移量 z 的上下邊界可由齒頂平面度公差確定。目標(biāo)函數(shù)(式(22))另外兩個(gè)參數(shù) φ、θ₀的約束條件為

　　利用優(yōu)化算法求解滿足條件的最優(yōu)解 φ* 、θ* 、 x* 、y* 、z * ，將其代入到式(18)，獲得位置匹配后的測(cè)量點(diǎn)陣 Q'_ij。

　　實(shí)測(cè)點(diǎn)誤差補(bǔ)償：如圖 10 所示，使用三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)進(jìn)行測(cè)量時(shí)，給定的測(cè)量指令是測(cè)針沿 P' 的法矢 N ' 方向去觸測(cè)實(shí)際齒面，由于加工誤差導(dǎo)致待測(cè)點(diǎn)附近的曲率變化較大以及測(cè)球半徑的影響，測(cè)球在沿理論點(diǎn)法矢 N' 移動(dòng)的過程中，往往未到達(dá)指定位置 Q" 時(shí)就已經(jīng)觸測(cè)到 Q' ，這導(dǎo)致實(shí)際測(cè)量點(diǎn) Q' 沒有在理論點(diǎn) P' 的法向上，此時(shí)測(cè)頭顯示的示值為 Q' 點(diǎn)相關(guān)的坐標(biāo)信息，從而產(chǎn)生測(cè)量偏差 ε_m，使得測(cè)量結(jié)果不能真實(shí)地反映齒面誤差規(guī)律，繼而影響齒面后續(xù)的加工反調(diào)等工藝。

圖 10 測(cè)量誤差示意圖

　　為盡可能地避免制造誤差引起的測(cè)量偏差 ε_m，本研究將測(cè)量網(wǎng)格重構(gòu)成 NURBS(non ‐ uni‐ form rational B ‐splines)曲面，采用相關(guān)的優(yōu)化算法在該曲面上尋找 P' 對(duì)應(yīng)的理想的測(cè)量點(diǎn) Q" 的坐標(biāo)，具體步驟如下。

　　1)將位置匹配后的測(cè)量點(diǎn)陣 Q'_ij 擬合成 NURBS 曲面 R_m(u，v)，其中 u、v 為齒寬和齒高兩個(gè)方向上的參數(shù)。每一個(gè)有序數(shù)對(duì)(i，j)對(duì)應(yīng)一組(u_i，v_j )。

　　2)對(duì)于理論齒面上的某一點(diǎn) P'_ij ，構(gòu)造優(yōu)化目標(biāo)如下：

　　運(yùn)用優(yōu)化算法，以(u_i，v_j )為初值在曲面 R_m ( u，v ) 上搜索 Q"_ij 對(duì)應(yīng)的參數(shù)(u*_i，v*_j )，故點(diǎn) Q"_ij 可表示成如下形式：

　　3)將補(bǔ)償后的測(cè)量點(diǎn) Q"_ij與對(duì)應(yīng)的理論點(diǎn) P'_ij比較獲得齒面偏差

　　四、測(cè)量實(shí)驗(yàn)

　　實(shí)驗(yàn)設(shè)備及對(duì)象：實(shí)驗(yàn)采用裝有 SP600M 線性測(cè)頭的海克斯康 STATUS575 型的三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)(如圖 11 所示)以及克林貝格 P65 的齒輪測(cè)量中心(如圖 12 所示);結(jié)合通用測(cè)量軟件 PC ‐DIMS 和專用測(cè)量軟件QUINDOS 對(duì)齒面進(jìn)行測(cè)量。測(cè)量對(duì)象為 6 級(jí)精度(參照錐齒輪標(biāo)準(zhǔn) GB11365‐2019)的直齒面齒輪。

　　實(shí)驗(yàn)方法及測(cè)量結(jié)果：為驗(yàn)證本文所提出方法的合理性，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)步驟如下：

　　1)基于三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)結(jié)合通用測(cè)量軟件 PC‐DMIS，分別采用常規(guī)方法和本文方法建立測(cè)量坐標(biāo)系對(duì)同一齒面進(jìn)行測(cè)量，分別獲得采用常規(guī)方法建立的坐標(biāo)系下的原始坐標(biāo)數(shù)據(jù)和采用本文方法建立的坐標(biāo)系下的原始坐標(biāo)數(shù)據(jù)，結(jié)果如圖 13 所示。

圖 13 齒面 1 測(cè)量結(jié)果(單位：μm)

　　2)將常規(guī)方法獲得的原始坐標(biāo)數(shù)據(jù)與理論坐標(biāo)數(shù)據(jù)對(duì)比獲得法向偏差，結(jié)果如圖13(a)所示;將本方法獲得的原始坐標(biāo)數(shù)據(jù)采用本文提出的補(bǔ)償方法，獲得齒面偏差如圖 13(c)所示。

　　3)針對(duì)本文第 3.1 節(jié)中討論的無約束優(yōu)化模型，本文做了 1 組對(duì)比實(shí)驗(yàn)，即將本文方法中的位置匹配參數(shù)約束條件(式(24))更改為實(shí)數(shù)范圍，其余保持不變，所得測(cè)量結(jié)果如圖 13(b)所示。

　　4)最后，為了驗(yàn)證本文測(cè)量方法是否有效，基于齒輪測(cè)量中心結(jié)合專用測(cè)量軟件 QUIN ‐ DOS 對(duì)該齒面進(jìn)行第 3 次測(cè)量，獲得結(jié)果如圖13(d)所示，將該結(jié)果作為檢驗(yàn)本文方法是否有效的標(biāo)準(zhǔn)。

　　5)為了避免偶然性，本實(shí)驗(yàn)針對(duì)兩組不同的齒面進(jìn)行了上述測(cè)量操作，所得齒面 2 測(cè)量結(jié)果如圖 14 所示。

圖 14 齒面 2 測(cè)量結(jié)果(單位：μm)

　　實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析：將基于三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的不同測(cè)量方法獲得的 3 組齒面測(cè)量結(jié)果與齒輪測(cè)量中心獲得的結(jié)果對(duì)比，獲得表 1、表 2 所示的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，包括：

　　1)三坐標(biāo)測(cè)量結(jié)果與齒輪測(cè)量中心結(jié)果對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的最大測(cè)量偏差值。

　　2)三坐標(biāo)測(cè)量結(jié)果與齒輪測(cè)量中心結(jié)果 9× 5 個(gè)點(diǎn)的相對(duì)偏差平方和。

　　3)三坐標(biāo)測(cè)量結(jié)果以及齒輪測(cè)量中心結(jié)果的絕對(duì)誤差平方和。

　　4)本文方法建立的測(cè)量坐標(biāo)系與齒輪測(cè)量中心測(cè)量坐標(biāo)系之間的位置誤差。

　　對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的最大測(cè)量偏差是從單個(gè)點(diǎn)的層面反映不同方法的測(cè)量結(jié)果之間的吻合性。據(jù)表 1、表 2 可知，本文方法相比于常規(guī)方法和無約束優(yōu)化方法該項(xiàng)結(jié)果均為最小。從單個(gè)點(diǎn)的測(cè)量偏差層面驗(yàn)證了本文提出的誤差補(bǔ)償方法能有效地減小測(cè)量偏差。

　　相對(duì)偏差平方和反映的是不同方法的測(cè)量結(jié)果之間的整體吻合程度。據(jù)表 1、表 2 可知，本文方法所得測(cè)量結(jié)果與齒輪測(cè)量中心結(jié)果之間的相對(duì)偏差平方和小于無約束優(yōu)化方法和常規(guī)方法，這表明就整體測(cè)量結(jié)果而言，本文提出的三坐標(biāo)測(cè)量方法獲得的測(cè)量結(jié)果更接近真實(shí)齒面。

　　分析本文方法與常規(guī)方法所得到的誤差曲面的趨勢(shì)發(fā)現(xiàn)，由于常規(guī)方法建立測(cè)量坐標(biāo)系時(shí)難以確定角向定位基準(zhǔn)，建立的測(cè)量坐標(biāo)系與設(shè)計(jì)坐標(biāo)系之間存在較大誤差(3 個(gè)位移誤差 x* 、y* 、z * )，使得測(cè)量所得齒面(圖 13(a)和圖 14(a))呈現(xiàn)出繞齒寬方向的扭轉(zhuǎn)趨勢(shì)較為明顯;而本文基于迭代思想建立測(cè)量坐標(biāo)系，并采用合理的誤差補(bǔ)償方法獲得的齒面與真實(shí)齒面的趨勢(shì)較為一致，這一結(jié)果表明，測(cè)量坐標(biāo)系建立得準(zhǔn)確與否，會(huì)直接影響測(cè)量結(jié)果的可靠性。

　　針對(duì)文中第 3.1 節(jié)中討論的無約束優(yōu)化模型對(duì)測(cè)量齒面與理論齒面進(jìn)行位置匹配，根據(jù)表 1、表 2 數(shù)據(jù)，該補(bǔ)償方法測(cè)量結(jié)果的絕對(duì)誤差平方和雖小于本文方法測(cè)量數(shù)據(jù)的絕對(duì)誤差平方和，但是其與齒輪測(cè)量中心所得的測(cè)量結(jié)果之間的相對(duì)偏差平方和要大于本文方法與齒輪測(cè)量中心結(jié)果之間的相對(duì)偏差平方和，從而驗(yàn)證了無約束優(yōu)化模型得到的解在數(shù)學(xué)上雖為最優(yōu)(即齒面誤差數(shù)值上最小)，但是不一定能反映齒面的真實(shí)情況。

　　五、結(jié)論

　　1)提出了一種考慮齒坯端面和外圓公差來確定測(cè)量坐標(biāo)系原點(diǎn)和 Z 軸、以待測(cè)網(wǎng)格中心為基準(zhǔn)迭代確定 X 軸的測(cè)量坐標(biāo)系建立方法，相比于常規(guī)的測(cè)量方法，該方法能有效地減小測(cè)量坐標(biāo)系的位置誤差。

　　2)根據(jù)測(cè)量坐標(biāo)系建立的原理，通過約束測(cè)量坐標(biāo)系與設(shè)計(jì)坐標(biāo)系之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型來補(bǔ)償測(cè)量坐標(biāo)系誤差;利用實(shí)測(cè)點(diǎn)的位置信息，構(gòu)造優(yōu)化模型，尋找與待測(cè)點(diǎn)相匹配的實(shí)際齒面點(diǎn)的方式補(bǔ)償加工誤差帶來的測(cè)量誤差，獲得的測(cè)量結(jié)果更接近真實(shí)齒面。

　　參考文獻(xiàn)略.