采用通用五軸加工中心的齒輪多軸銑削加工，由于其具有高度柔性化，廣泛應用于新型齒輪的快速原型制造、大型齒輪個性化加工以及齒輪修復等領域。
目前，關于齒輪多軸銑削主要集中于刀具路徑規劃，郭二廓等提出一種漸開線圓柱齒輪立銑刀包絡銑削加工方法，建立刀具路徑規劃與齒面精度特性匹配關系;GUO 等推導出立銑刀側銑加工齒輪的齒廓誤差模型，研究了刀具進給策略、齒輪幾何參數對齒廓誤差的影響;SHI 等在圓柱齒輪銑削中提出了粗糙 度約束的刀具路徑規劃方法。ALVAREZ 等采用不同的加工策略完成螺旋錐齒輪銑削加工，通過誤差分析實現刀具路徑優化;上述刀具路徑規劃研究從幾何學角度論證齒廓表面精度與加工參數之間的約束關系。然而在實際加工中，加工參數確定還受到切削力這一物理表征的影響，不當的加工參數的選擇，往往導致銑削力急劇增加，加速刀具磨損，無法獲得滿意的齒輪表面精度和尺寸精度。因此，實現齒輪銑削過程的切削力精準預測是齒輪銑削參數確定與優化的基礎。
切削力的計算要求精確表征切觸區域。目前關于切觸區域計算主要分為實體法、離散法和解析法 3 種。實體法是通過刀具與工件實體模型之間布爾運算確定出切觸區域。YANG 等在 NX 軟件中，利用刀具回轉面的可能切觸面修剪刀具掃掠體得到切觸區域;BOZ 等利用 Parasolid 實體建模引擎，通過修剪刀具掃掠體與工件之間的相交面獲取切觸區域;植俊杰等基于 NX 二次開發技術，從更新實體幾何模型中提取出切觸區域。離散法主要是通過判斷離散化的刀具和工件是否相交確定出切觸區域;董永亨等基于改進的 Z?MAP 法識別了球頭銑刀加工時瞬時切觸狀態;WEI 等對 Z?MAP 方法進行了改進，將邏輯數組的標識功能引入，提高了刀具接觸區的計算效率;QIN 等借鑒多軸銑削切觸區域的解析模型，引入了改進的 Z?MAP 方法，該方法在切觸區域計算過程中僅需要更新刀具的離散模型，獲得較高計算精度的同時減少計算時間。解析法采用空間曲線表示切觸區域，進而通過降維方法進行求解。魏兆成等在多軸銑削加工中分別將切觸區域簡化邊界曲線的求解問題，進而提出了基于半解析建模的切觸區域計算方法。
銑刀的每一次齒廓包絡銑削可視為三軸銑削加工，同時變刀具進給方向的復雜曲面銑削比較，其刀具路徑數量相對較少。上述切觸區域 3 種計算方法中，實體法具有較高的計算精度，適用于三軸加工，計算效率能夠滿足仿真需要。離散法具有較高的計算效率，但工件和刀具的離散化處理往往導致較低的計算精度，很難平衡計算效率和計算精度之間的矛盾。解析法在滿足一定計算精度的要求下，具有較高的計算效率，然而對于直齒輪銑削過程，其在表示工件表面的漸開面與表示刀具掃掠面的球面的求交計算上，計算過程復雜繁冗，且針對不同工況下的適應度較差。因此，針對圓柱直齒輪銑削，采用實體法提取切觸區域，在滿足仿真計算效率的基礎上，能夠獲得較高的計算精度，同時規避離散法精度缺陷，以及解析法中漸開面與球面的復雜求交問題。
綜上所述，本文以直齒輪為對象，基于實體建模的方法實現其銑削過程刀具與工件切觸區域的仿真分析。首先，在齒輪銑削運動模型以及代加工齒廓數學模型描述的基礎上，基于等殘余高度法，規劃齒輪銑削刀具路徑;其次，構建刀具掃掠體，通過掃掠體與齒輪工件幾何模型布爾運算實現工件幾何模型的更新;在更新齒丕幾何實體模型上識別出齒輪銑削切觸區域，進而確定出切入角和切出角;最后，通過實際加工后的切觸區域結果與仿真結果對比驗證該方法的有效性和準確性。
一、齒輪銑削過程數學模型
坐標系定義
為便于準確描述齒輪銑削過程中的刀具與工件的相對位置關系，建立如圖 1 所示的坐標系。直齒輪銑削過程中，所有輪齒具有相同銑削加工策略;在單個輪齒的銑削過程中，銑刀在齒高方向上以空切的方式移動刀具，再以齒寬方向即沿齒輪軸向進給完成材料銑削去除，重復齒高方向移刀和齒寬方向切削直至加工出整個齒面。坐標系統中定義的坐標系為：
oW ?xW yW zW (簡稱{ SW ｝)為工件坐標系，是描述工件幾何模型和刀具運動的基準坐標系，與齒輪固定連接，其原點 oW 位于齒輪上端面的回轉中心，坐標軸 oW yW 與 0 號刀齒齒廓中心線重合，坐標軸 oW zW 與齒輪軸線重合。
oF ?xF yF zF(簡稱{SF ｝)為描述刀具進給運動的進給坐標系，原點 oF 位于球頭銑刀球心，其在{ SW ｝下的位置即為刀位點 CLk，i(下標 k、i 表示刀具路徑 k 上第 i 個刀位點);坐標軸 oF zF 方向為理想漸開面的法向 nk，由漸開線面幾何特性可知，刀具沿路徑 k 直線進給中，任一刀位點 CLk，i 處 oF zF 具有相同法向 nk;oF zF 與 oW zW 之間的夾角為 βk，是描述{SF｝和{SW｝之間關系的坐標變換角度;坐標軸 oF xF 平行于齒輪軸線，與坐標軸 oWzW 方向一致，即平行于刀具進給方向，{SF｝符合右手定則。
oT ?xT yT zT (簡稱{ST ｝)為刀具坐標系，原點 oT 固定于刀具球心處，與 oF 重合;坐標軸 oT zT 重合于刀具軸線，且使刀具遠離工件表面方向為正;{ ST ｝ 可以表示為{SF｝圍繞其自身軸線 oF xF 旋轉(逆時針為正，順時針為負)所構造的坐標系，旋轉角度 λk 為 oF zF 和 oT xT 之間的夾角，即為所定義的刀具偏角;由{ ST｝ 和{ SF｝定義可知，坐標平面 yF zF 平行于坐標平面 yT zT ，同時也平行于直齒輪端面，即定義多軸加工的刀具傾角為 0。
變換矩陣
描述切觸區域的切入角和切出角是在刀具坐標系{ST｝下，然而其計算過程需要在工件坐標系{ SW｝ 實現，因此需要描述二者之間的變換關系。
{ST｝相對于{SF｝的其次坐標變換矩陣為：
式中：xWCLk，i 、yWCLk，i 、zWCLk，i為刀位點 CLk，i在{SW｝下的坐標，三者與初始刀位點 CLk，0的坐標之間的關系為：
式中：Lk，i為刀具在刀位點 CLk，i 處相對于初始刀位點 CLk，0的走刀長度。
{ST｝相對于{SW｝的其次坐標變換矩陣為：
待加工齒廓數學模型
切觸區域計算需要精確描述代加工工件模型;對于直齒輪，代加工工件的表面為漸開面等距面，其可以表示為代加工齒廓沿軸線拉 伸所形成的幾何體。齒輪銑削精加工完成齒廓漸開線的最終包絡，其前一道工序半精加工之后的待加工齒廓為包含加工余量的漸開線等距線。圖 2 為直齒輪端面齒廓示意圖。漸開線齒廓 A′B′上任意一點 P′的坐標為：
式中：rb 為基圓半徑，α 為壓力角，ΩS 為 1/2 基圓齒厚對應的圓心角，ΩS = π/ 2z + θn ，θn 為展角，θn = tan(αn)-αn，αn 為分度圓壓力角，z 為齒數。
漸開線 A′B′上任意一點 P′的法相矢量為：
根據式(5)和式(6)，則待加工齒廓上任意一點 P 方程為：
式中：T 為半精加工余量。
二、刀具路徑規劃
切觸區域的計算需要精確描述刀具在工件坐標系下的位置即刀位點;由式(7)可知，在設定走刀長度和初始刀位點 zWCLk，0坐標之后，刀位點 CLk，i的計算主要取決的刀位點 CLk，0的 xWCLk，0、yWCLk，0兩個坐標，因此直齒輪銑削刀具路徑規劃主要指齒高方向的路徑規劃。
齒輪銑削刀具路徑規劃主要有兩種方式：一是采用自由曲面包絡法，該方法將齒輪漸開面擬合成自由曲面，采用 CAM 軟件曲面自由銑削功能自動實現刀具路徑規劃;二是漸開線包絡法，將漸開線視為球頭銑刀在刀位點處所形成的包絡線;相對于自由曲面包絡法，漸開線包絡法將齒廓的幾何特性、精度要求和刀具參數進行統一表示，不僅建立三者之間的直接聯系，也避免自由曲面構造所產生的精度損失，具有較高的計算精度和刀具路徑規劃效率;基于此，本文采用基于等殘留高度的漸開線包絡法規劃刀具路徑，計算出刀位點。
將初始刀位點投影于{SW｝的坐標平面 yW zW ，建立如圖 3 所示的端面齒廓齒高方向刀位點計算示意圖，CCk，0 、CLk，0分別為刀具路徑 k 處的初始刀觸點和初始刀位點;ε1 為理論漸開線齒廓曲線，是不同刀位點CLk，0處半徑為 R 刀具圓弧形成的包絡線;ε2 為殘留高度 h 殘留點所在曲線，ε3 為刀位點 CLk，0 所在曲線，曲線 ε2 、ε3 均為漸開線等距曲線。
由圖 3 可知，Gk，0 為殘留高度點，是曲線 ε2 和刀位點 CLk，0處刀具圓弧交點，Gk，0點可通過式(8)求取。
刀位點 CLk + 1，0 與 Gk，0 之間的距離為R，同時 CLk+1，0點位于曲線 ε3 上，根據這一幾何關系，CLk+1，0 點可通過式(9)求取。
聯立式(8)和式(9)，在已知初始刀位點 CLk，0下，可以通過迭代方法求取出所有刀位點，完成齒高方向刀具路徑規劃。
三、實體法切觸區域仿真計算流程
如圖 4 所示，直齒輪銑削過程中，刀具采用沿齒寬方向直線進給，在刀具路徑 k 上各刀位點處的切觸區域完全相同;突出重點，本文僅研究正常切削階段切觸區域計算，忽略刀觸點位于齒頂圓處非正常切削的首條刀具路徑切觸區域計算。便于仿真結果與加工試驗結果對比以及減少仿真計算時間，以單個齒為銑削對象，設置刀具路徑 k 初始刀位點 CLk，0 為切削開始點，刀位點 CLk，i為切削停止點，并以該停止點作為刀具路徑 k 的切觸區域提取刀位點。
實體法切觸區域提取過程為：
步驟 1：產生刀位點。根據輸入刀具參數、工件參數以及切削參數，結合漸開線齒廓數學模型、等殘留高度法進行刀具路徑規劃，計算出刀位點;
步驟 2：生成刀具掃掠體。如圖 5 所示，建立刀位點 CLk，0和刀位點 CLk，i刀具掃掠輪廓線，構造出刀具掃掠面 FSwept、刀位點 CLk，0 處刀具回轉面的切入部分 FIngress、刀位點 CLk，i處刀具回轉面的切出部分 FEgress，將上述 3 個面通過縫合方法建立刀具掃掠體;
步驟 3：切削過程工件更新。如圖 6 所示，通過待加工齒廓數學模型構造工件幾何實體模型，將生成的刀具掃掠體和切削過程工件進行布爾求差，得到更新后的切削過程工件;
步驟 4：切觸區域識別。如圖 6 和圖 7 所示，刀具掃掠體與切削過程工件相交，將會在更新的過程工件中產生一些列接觸面;切觸區域位于接觸面內，同時切觸區域也是部分刀具回轉面;當采用球頭銑刀進行精加工時，僅有球頭部分進行切削，因此切觸區域為球面的一部分;根據這一特點，從更新后的切削過程工件中，圓心位于刀位點處 CLk，i具有球面幾何特性的面即為切觸區域;
步驟 5：切觸角計算。如圖 8 所示，在刀具坐標系下，利用平行于刀具軸線的一組平面和代表刀具接觸區域的球面進行求交，得到所有相交的圓弧，通過圓弧端點計算出刀具切入角和切出角;
步驟 6：判斷是否完成所有刀具路徑切觸區域提取，如未完成，繼續下一刀具路徑切觸區域提取，直至遍歷完所有刀具路徑。
在以上步驟中，涉及到實體模型布爾運算的步驟 2 ～ 步驟 4 是在{SW｝中完成的，步驟 5 是在{ST｝中完成的。
如圖 9 所示，同一刀位點，當其余切削參數恒定不變的情況下，僅改變刀具偏角，形成的 T1 和 T2 兩種不同刀具姿態下的切觸區域具有相同的幾何特征;在已知刀具姿態 T1 的切觸區域時，可通過刀具姿態 T2 的所在的刀具坐標系下利用曲面分割計算新的切觸角度區間，減少重復計算所導致的時間消耗。
四、仿真實例與試驗驗證
為驗證實體法在齒輪銑削過程切觸區域提取方法的有效性，本節對切削仿真實例和切削試驗進行描述。
試驗加工與測量裝置
如圖 10a 所示，齒輪銑削加工采用五軸加工中心德瑪吉 DMU50，B 軸固定，C 軸回轉實現工件的分度和刀具偏角的設定，X 軸直線進給實現刀具沿齒輪軸向的切削運動，Y 軸和 Z 軸的直線進給實現刀具在齒槽中的定位。
工件材料為 45 號鋼，齒輪模數 mn = 6 mm，齒數 z = 20，分度圓壓力角 αn = 20°，齒頂高系數 h∗a = 1，頂隙系數 c∗= 0.25。
刀具采用整體式硬質合金球頭銑刀，其半徑 R = 3 mm，齒數為 2，螺旋角為 15°，主軸轉速為 3000 r/ min， 每齒進給量為 0.05 mm/r，刀具偏角 λk = 60°，齒廓殘留高度 h = 0.03 mm，齒廓半精加工余量 T = 0.3 mm。
切觸區域邊界曲線測量采用圖10b 所示的19JPC?V 數顯萬能工具顯微鏡，測量平面坐標系 oC ?xC yC 與測量工作臺面平行，也平行于{SW｝的坐標平面 yW zW;測量時，將單齒工件放置于角度規上，測量基準點位于各個切觸區域 P2點。圖 11 為加工后工件表面，具有清晰的刀具和工件切觸區域邊界痕跡。
試驗加工結果與仿真分析結果對比
圖 11 中刀具路徑 2 和 4 的測量結果與仿真計算結果的對比如圖 12 所示，曲線 P1P2 和曲線 P2P3 的實際測量結果與仿真計算結果基本一致;曲線 P1P3 在實際工件表面中，由于工件的滑移變形，該邊界曲線比較模糊，難以辨識，而實際測量結果可以看出，P1 點和 P3 點及其相鄰點的測量結果與仿真結果相一致，同時相鄰測量點趨近于代表刀具痕跡的直線，間接說明曲線 P1P3 實際測量結果與仿真計算結果具有一定的吻合度。切觸區域邊界曲線的微小誤差是由測量誤差和工件表面塑性變形的影響所導致的。若排除測量誤差和工件表面變形的影響，試驗結果與仿真結果基本一致，從而證實了本文所提出切觸區域仿真分析方法的準確性。
圖 13 所示分別為刀具路徑 2 和 4 通過仿真計算出的切入角和切出角。
五、結論
本文基于實體建模技術，提出了一種圓柱直齒輪的多軸銑削精加工球頭銑刀與工件瞬時切觸區域提取的仿真分析方法，通過試驗對該方法的有效性和準確性進行了驗證，具體的研究成果為：
(1)在直齒輪銑削運動模型和齒廓數學模型描述的基礎上，構造了基于等殘留高度法的刀具路徑規劃方法;
(2)基于實體仿真方法，通過刀具掃掠體與工件之間的布爾運算，實現直齒輪銑削過程材料去除;從更新后的切削過程工件中，準確識別出切觸區域。
(3)切觸區域試驗測量結果與仿真結果相一致，驗證了本文所提出的基于實體模型的直齒輪銑削過程切觸區域提取方法的有效性和準確性。
參考文獻略.