以斜齒輪為研究對象，研究了砂輪磨削加工斜齒輪時，齒輪精度的評價標準以及誤差產生的原因。在此基礎之上，引入了兩種插補修整方案，分別分析了直線插補修整和圓弧插補修整的實現原理。根據相關理論研究，在數控機床上進行了實驗加工，并對試件進行了在線測量。在線測量的結果表明，圓弧插補修整優于直線插補修整，可以提高被加工斜齒輪的精度。

　　齒輪的加工方法包括成形法和展成法，采用成形法進行磨齒加工，不但可以提高磨齒的效率，還可以克服傳統加工方法齒形單一的缺點，從而將磨削加工的適用范圍擴大。不僅如此，在數控機床進行磨齒時，能夠在線對齒形進行修整，還能夠對加工過程中產生的多種類型誤差進行誤差補償。磨齒加工作為一種常見的齒輪高精度加工方法，它具有其他加工方式所不具備的很多優點，在市場上占據了主導地位，在未來的應用必將越來越廣泛。

　　在磨齒過程中，砂輪的運動軌跡往往很復雜，從微觀角度來看，復雜的運動軌跡是由大量的小線段構成的折線，而插補就是用基本線形擬合砂輪復雜運動軌跡的過程。因此，在數控成形磨齒機中進行齒輪的加工時，如何選擇插補修整的方式，將極大影響被加工齒輪的精度。

　　一、成形磨削齒輪精度分析

　　成形磨削齒輪精度的評價標準

　　成形磨齒實際情況如圖 1 所示。先將砂輪移向修整器位置，由修整器修整成形砂輪。再將砂輪移動到齒輪工件的磨削位置，砂輪徑向走刀，并作橫向運動。加工完工件的一個齒槽后，由分度頭旋轉分度，加工下一個齒槽。所有的齒第一刀徑向進刀量全部加工完之后，重復上述過程，直到將所有的磨齒余量去除，齒輪公法線達到標準公法線長度。

　　評價成形磨削齒輪精度的標準有：

　　(1)齒廓偏差 Δf_α;

　　(2)螺旋線偏差 Δf_β;

　　(3)齒距偏差(包括基節偏差 Δf_pb、齒距偏差 Δf_pt、齒圈徑向跳動 Δf_σ、公法線長度變動 ΔF_w 等);

　　(4)齒厚偏差(包括齒厚偏差 ΔE_δ、公法線平均長度偏差 ΔE_w 等)。

　　結合圖 1 分析可知，在加工斜齒輪時，成形磨削的齒廓偏差取決于砂輪修整與進刀位置精度;螺旋線偏差取決于工作臺的精度以及工件的安裝精度，包括同軸度，徑向跳動等;齒距偏差取決于分度機構的分度偏差;影響齒厚精度的因素是砂輪進刀是否準確。

　　齒向精度分析

　　設齒輪寬度為 B，設 L_m 為磨齒心軸長度，影響成形磨齒齒向精度的各種因素如下：

　　由直線度誤差 δt_w 引起的齒向誤差為

　　ΔF_β=δt_w·B

　　由水平平行度誤差 δT_p 引起的齒向誤差為

　　ΔF_β=δt_p·B

　　由垂直平行度誤差 δT_q 引起的齒向誤差為

　　ΔF_β=δt_q·B

　　由 δT_r 引起的齒向誤差為

　　ΔF_β=δt_r·B

　　齒形誤差分析

　　設各誤差因素為 u_j(1，2，…，n)，根據各項誤差因素與齒輪漸開線的幾何關系，可求出相應的誤差曲線 φ(x，y)=0，如圖 2 所示。過誤差齒形曲線 φ_j(x，y)=0 上坐標為(x_i ，y_i )的P₁ 點，作齒輪基圓 r_b 的切線 P₁N，與漸開線 BP 交于 P 點，則齒輪漸開線 BP 在 P 點的法向齒形誤差為

　　齒輪漸開線 BP 的齒形誤差為

　　規定：齒形壓力角偏大時，ΔF_f 為負；偏小時， ΔF_f 為正。

　　各誤差因素的綜合齒形誤差為

　　二、成形砂輪高精度數控修整方案

　　直線插補修整

　　空間直線插補是在已知一條直線始末兩點的位置和姿態，求各軌跡中間點(插補點)的位置和姿態。由于大多數情況下沿直線運動時，姿態是不會發生變化的，因此也就不需要姿態插補，即保持線段一端第一點的姿態。特殊情況下，有些情況要求姿態也能夠發生相應的變化，這就需要姿態插補，這可以仿照下面介紹的位置插補原理去處理，也可以參照圓弧的姿態插補方法解決。空間直線插補如圖 3 所示，直線始末兩點的坐標值為 P_o(x_o,y_o,z_o)，P_c(x_c,y_c,z_c)。其中的 P_o，P_c 是相對于基坐標系的坐標，設 v 為要求的沿直線運動速度;T_s 為插補時間間隔。

　　(1)線段長度：

　　(2)T_s 間隔內行程：d=vT_s mm

　　(3)插補總步數 N=L/d+1 的整數部分。

　　(4)各軸增量即為

　　因此，可以實時計算各插補點坐標值為

　　圓弧插補修整

　　圓弧插補算法有兩種，分別是平面圓弧插補算法和空間圓弧插補算法，本文采用平面圓弧算法。平面圓弧是指圓弧平面與基坐標系的三大平面之一重合，以 xoy 平面圓弧為例，對平面圓弧算法進行說明。設有不在一條直線上的 3 個點 P₁，P₂，P₃，以及這三點對應的姿態。平面上不在一條直線的 3 個點可以確定一個圓，因此這三個點可以用一段圓弧連接起來，如圖 4 所示。

　　設v為沿圓弧運動速度；T_s 為插補時間間隔。與直線插補的情況類似，可以計算出如下參數：

　　(1)由 P₁，P₂，P₃ 決定的圓弧半徑 R。

　　(2)總的圓心角 φ=φ₁+φ₂，即：

　　(3)在 T_s 時間內角位移量為 Δθ=Tsv/R，然后根據如圖 5 所示圓弧插補的幾何關系，求各點插補坐標。

　　(4)總插補步數(取整數)為 N=φ/Δθ+1

　　對于 p_i+1 點坐標，有：

　　同時還需要使用 θ_i+1=θ_i +Δ_θ 判斷是否到了插補終點，如果θ_i+1≤φ，繼續插補下去，當θ_i+1>φ時，要修正最后一步步長 Δθ，并以 Δθ' 表示。最后一步步長 Δθ'=φ-θ_i，所以平面圓弧位置插補為

　　三、插補方案的比較

　　上文介紹了兩種數控插補方案，為了得到插補修整的效果，在數控機床 L300G 上進行實驗。L300G 數控機床采用的是 NUM Flexium68 數控系統，此系統提供直線插補、圓弧插補、樣條插補等功能，所以可以用來進行實驗。分別對砂輪進行直線插補修整與樣條插補修整并進行磨齒實驗，磨齒效果如圖 6 所示。

　　圖 6(a)為直線插補修整磨齒后的齒面情況，圖 6(b)為樣條插補修整磨齒后的齒面情況，兩次磨齒采取相同的磨齒工藝：公法線去除量、粗磨精磨進刀量與進刀數、砂輪線速度、砂輪沖程速度等。對比可以看出，圓弧插補磨齒后的齒輪表面更光順與平整，缺陷與直線插補相比也較少。

　　四、齒形的在線測量

　　對于插補修整加工后的齒輪，直接在 L300G 機床上切換工作模式，就可以實現在線測量，如圖 7 所示。探頭通過與齒面進行接觸，每一次接觸記錄一個標定位置，就可以得到斜齒輪的齒形。

　　數控系統經過處理，可得齒形的測量結果，直線插補修整的測量結果如圖 8(a)所示，圓弧插補修整測量結果如圖 8(b)所示。測量結果表明，兩種插補修整后的斜齒輪都符合精度的要求。但是，圓弧插補修整與直線插補修整相比，螺旋線精度更高，齒廓偏差也得到了明顯的減小。

　　五、總結

　　本文首先系統分析了影響成形磨齒齒輪精度的因素，然后從這些主要因素出發，研究了高精度的砂輪數控修整方案。并根據直線插補和圓弧插補兩種修整方案，分別在 L300G 數控機床上進行了磨齒實驗加工。

　　在實驗的基礎上，對試件進行了在線測量，測量的結果表明，圓弧插補修整優于直線插補修整，齒面精度、螺旋線精度都得到了提高，齒形也更加準確，使用圓弧插補修整可以得到精度更高的斜齒輪。