針對(duì)現(xiàn)有的S型齒廓修形方法存在的問(wèn)題，設(shè)計(jì)了一種新的齒廓曲線(xiàn)設(shè)計(jì)方法。該方法通過(guò)使用嚙合矩陣實(shí)現(xiàn)共軛點(diǎn)的快速求解，并基于共軛點(diǎn)對(duì)齒廓曲線(xiàn)進(jìn)行修形。計(jì)算結(jié)果表明，改進(jìn)法設(shè)計(jì)下的齒廓相比于傳統(tǒng)S型齒廓具有更小、更均勻的側(cè)隙，嚙合區(qū)間得到增大，傳動(dòng)誤差有所降低，提高了齒廓的嚙合性能，能夠滿(mǎn)足高精度場(chǎng)合下的使用要求。
諧波減速器具有減速比大、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、精度高等優(yōu)點(diǎn)，因此被廣泛應(yīng)用于機(jī)器人、航空航天和軍事等對(duì)于精度要求較高的領(lǐng)域。目前在嚙合理論方面，主流的方法有基于Willis定理的包絡(luò)法、改進(jìn)運(yùn)動(dòng)學(xué)法和瞬心線(xiàn)法。在諧波傳動(dòng)齒廓方面主要出現(xiàn)過(guò)直線(xiàn)齒廓、漸開(kāi)線(xiàn)齒廓、圓弧齒廓及S型齒廓。直線(xiàn)齒廓是諧波傳動(dòng)的發(fā)明者M(jìn)usser提出的，但該齒形沒(méi)有考慮柔輪的變形所引起的位移與轉(zhuǎn)角誤差。漸開(kāi)線(xiàn)齒廓的研究已趨于成熟，但在諧波運(yùn)動(dòng)的嚙合過(guò)程中由于共軛嚙合區(qū)域較小，且會(huì)產(chǎn)生尖點(diǎn)嚙合情況，這些會(huì)造成接觸點(diǎn)應(yīng)力的急劇增大，大幅縮短齒廓壽命。圓弧齒廓是目前國(guó)內(nèi)研究最多的齒廓齒形，與漸開(kāi)線(xiàn)齒廓相比，其具有嚙合齒數(shù)多的優(yōu)點(diǎn)， 改善了應(yīng)力狀況與嚙合質(zhì)量，但雙圓弧齒廓的側(cè)隙不均勻，部分區(qū)域存在側(cè)隙較大的情況。S型齒廓由日本學(xué)者Ishikawa等在1989年基于齒條近似法提出，根據(jù)映射關(guān)系可以實(shí)現(xiàn)與同類(lèi)齒廓的連續(xù)接觸。但這類(lèi)齒廓大多都是在無(wú)窮齒數(shù)下的近似設(shè)計(jì)，并未考慮實(shí)際運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的轉(zhuǎn)角影響。基于此，本文綜合考慮了諧波傳動(dòng)的彈性變形、齒輪偏轉(zhuǎn)角、波發(fā)生器類(lèi)型等因素，根據(jù)運(yùn)動(dòng)件的幾何關(guān)系和嚙合矩陣，通過(guò)曲線(xiàn)映射的方式得到原始凸齒廓，根據(jù)改進(jìn)法對(duì)原始齒廓進(jìn)行修形，接著根據(jù)修形完成的凸齒廓求解兩段凹齒廓，并最終與傳統(tǒng)S型齒廓進(jìn)行對(duì)比。
柔輪與剛輪間轉(zhuǎn)角關(guān)系：固定波發(fā)生器坐標(biāo)系，并以波發(fā)生器的回轉(zhuǎn)中心o為原點(diǎn)，長(zhǎng)軸為y軸，建立坐標(biāo)系，則波發(fā)生器、柔輪、剛輪之間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖1所示。
為了方便計(jì)算，本文的波發(fā)生器將采用余弦曲線(xiàn)，根據(jù)柔輪中性層的不變形理論，可以將其看作波發(fā)生器的等距曲線(xiàn)，則柔輪中性層曲線(xiàn)在極坐標(biāo)下可以表示為
式中：k為徑向變形系數(shù)，m為模數(shù)，rm為柔輪的中性層半徑。
rm大小可以通過(guò)柔輪分度圓半徑求解：
波發(fā)生器裝配后迫使柔輪發(fā)生變形，其中柔輪輪齒的法向轉(zhuǎn)角可以表示為
根據(jù)中性層不伸長(zhǎng)理論，其柔輪變形后轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)應(yīng)與未變形前掃過(guò)的弧長(zhǎng)保持一致，因此有
為了便于計(jì)算，因此整理時(shí)忽略其高階項(xiàng)，通過(guò)計(jì)算其一階近似積分可以得到
根據(jù)理論傳動(dòng)比可以得到
其余的轉(zhuǎn)角關(guān)系可以通過(guò)圖1中的幾何關(guān)系可得：
傳動(dòng)齒廓設(shè)計(jì)：根據(jù)齒條近似法原理，當(dāng)剛輪的齒數(shù)無(wú)窮大時(shí)，此時(shí)柔輪將相對(duì)于剛輪沿著運(yùn)動(dòng)軌跡平移。圖2為齒條近似原理圖，其中AB曲線(xiàn)為柔輪相對(duì)于剛輪的運(yùn)動(dòng)軌跡，將A點(diǎn)作為映射的起始點(diǎn)，將B點(diǎn)作為映射的結(jié)束點(diǎn)，按照0.5倍的比例進(jìn)行曲線(xiàn)映射，得到了剛輪凸齒廓BC與柔輪凸齒廓AC，由于曲線(xiàn)映射的關(guān)系，柔輪與剛輪齒廓均保留了運(yùn)動(dòng)軌跡的特征，即柔輪凸齒廓與剛輪凸齒廓間將實(shí)現(xiàn)連續(xù)嚙合。其中柔輪中性層在剛輪坐標(biāo)下的運(yùn)動(dòng)軌跡AB 的軌跡方程表示為：
由于原始曲線(xiàn)在(-π/2，π/2)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡存在偏距點(diǎn)，考慮到齒廓間連接的順滑性，因此設(shè)計(jì)段內(nèi)不能包含凹凸性突變的情況，因此映射的起始角度ηd應(yīng)取運(yùn)動(dòng)軌跡二階導(dǎo)數(shù)為0時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，假設(shè)偏距點(diǎn)為d，則e為曲線(xiàn)映射的截止點(diǎn)，其角度可以表達(dá)為ηe=arccos(1-2h*a /k)，其中h*a為齒頂高系數(shù)。因此原始剛輪凸齒廓表達(dá)式為：
原始柔輪凸齒廓表達(dá)式為：
傳統(tǒng)齒廓修形：在求解原始齒廓時(shí)，做了柔輪與剛輪的齒數(shù)均是無(wú)限的假設(shè)，然而在實(shí)際運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，柔輪齒廓除了沿著運(yùn)動(dòng)軌跡平移外還存在齒廓本身的旋轉(zhuǎn)角度，因此需要對(duì)原始齒廓進(jìn)行修形。根據(jù)坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)化原則，一開(kāi)始的原始曲線(xiàn)M是建立在中性層上面的，而柔輪的齒頂相對(duì)于剛輪的運(yùn)動(dòng)軌跡則需要建立在柔輪的分度圓上，因此運(yùn)動(dòng)軌跡M0需要在原始曲線(xiàn)M的基礎(chǔ)上向上平移一段h。h可以表示為
傳統(tǒng)的修形方法是假設(shè)理想嚙合條件下柔輪齒廓與剛輪齒廓的嚙合點(diǎn)為P，但由于轉(zhuǎn)角影響的存在，柔輪在嚙合點(diǎn)P處沿著N旋轉(zhuǎn)了ζ，從而柔輪與剛輪齒廓將產(chǎn)生干涉，干涉量可以通過(guò)嚙合點(diǎn)P的位移PB來(lái)表示。如圖4所示，F(xiàn)點(diǎn)為柔輪原始齒廓法線(xiàn)與中心線(xiàn)的交點(diǎn)，由于旋轉(zhuǎn)角度ξ較小，因此點(diǎn)P在轉(zhuǎn)角ξ的影響下產(chǎn)生的位移PB可以用弧長(zhǎng)FA代替，其表達(dá)式為
式中，lNF為線(xiàn)段NF的長(zhǎng)度。
lNF的表達(dá)式為
式中：(xP，yp )為P點(diǎn)坐標(biāo)，(xN，yN )為N點(diǎn)坐標(biāo)，α為接觸點(diǎn)壓力角。
α的計(jì)算公式為
因?yàn)?xi;較小，于是將上述弧長(zhǎng)FA近似看作齒廓x方向上的修型量，將其定義為Δx，將變形量平均分配給剛輪與柔輪，原始曲線(xiàn)的映射初始角為ηd，映射結(jié)束角度為ηe，因此柔輪齒頂輪廓的表達(dá)式為：
剛輪的齒頂輪廓表達(dá)為：
根據(jù)齒條近似法，柔輪與剛輪的凹齒廓同樣可以通過(guò)凸齒廓的映射所得到，但為了保證柔輪與剛輪齒廓嚙合的過(guò)程中不產(chǎn)生干涉，要在映射的齒廓上加入間隙調(diào)整量，于是柔輪的凸齒廓表達(dá)式為：
剛輪的凸齒廓表達(dá)式為：
由于映射起始點(diǎn)并不為0，因此凹齒廓與凸齒廓間存在空白區(qū)域，需要通過(guò)過(guò)渡直線(xiàn)連接，通過(guò)剛輪與柔輪兩端齒廓的端點(diǎn)，可以得到過(guò)渡直線(xiàn)段表達(dá)式：
式中，(xd1，yd1)和(xd2，yd2)為凸齒廓與凹齒廓表達(dá)式的端點(diǎn)。
傳統(tǒng)的S型齒廓修形方法嚙合區(qū)域較小，且側(cè)隙在嚙和區(qū)間內(nèi)變化較大，難以滿(mǎn)足對(duì)精度要高的場(chǎng)合，因此本文提供了一種新的修形方式來(lái)解決這些問(wèn)題。
改進(jìn)法齒廓修形：根據(jù)齒輪嚙合原理中的坐標(biāo)系變換原理，柔輪固定坐標(biāo)系可通過(guò)坐標(biāo)系變化矩陣Mcf和底矢變化矩陣Wcf變化到剛輪坐標(biāo)系，其中矩陣Mcf和矩陣Wcf表示為：
而剛輪坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到柔輪坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換矩陣Mfc和底矢變換矩陣Wfc分別表示為：
根據(jù)上述表達(dá)的矩陣，我們可以得到柔輪齒廓坐標(biāo)在剛輪固定坐標(biāo)系下的坐標(biāo)表達(dá)式為
同樣的剛輪齒廓坐標(biāo)點(diǎn)在柔輪坐標(biāo)系中的坐標(biāo)表達(dá)式為
為了分析原始柔輪凸齒廓相對(duì)于剛輪的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，直觀(guān)地反映裝配后諧波傳動(dòng)齒廓的嚙合情況，在將柔輪凸齒廓與剛輪凸齒廓分別轉(zhuǎn)換到各自坐標(biāo)系后使用嚙合矩陣Mcf，得到了圖5所示的(0，π)區(qū)間內(nèi)柔輪的運(yùn)動(dòng)軌跡圖。
通過(guò)boundary函數(shù)查找柔輪運(yùn)動(dòng)軌跡的邊緣輪廓，通過(guò)處理可以得到剛輪的共軛點(diǎn)。將剛輪的共軛齒廓與剛輪的原始齒廓間的差值作為修形量進(jìn)行第一次修形。假設(shè)剛輪的共軛曲線(xiàn)的橫坐標(biāo)為xca1，則修形量可以表示為
那么第一次修形后柔輪齒頂輪廓的表達(dá)式為：
剛輪的齒頂輪廓表達(dá)式為：
將第一次修形后的柔輪齒廓與剛輪齒廓再次代入嚙合矩陣Mcf中，并再次查看嚙合情況。
我們發(fā)現(xiàn)經(jīng)過(guò)第一次修形后剛輪凸齒廓末端嚙合情況較好，而初始端的側(cè)隙較大。這是因?yàn)樾扌螘r(shí)齒廓末端所采用的共軛點(diǎn)是由柔輪凸齒廓末端所構(gòu)成的，因此將此處的修形量均分給2段原始齒廓是合理的。然而初始端的共軛點(diǎn)并非由柔輪原始凸齒廓的初始端所構(gòu)成，因此在此處將其作為修形量不合理。針對(duì)這種情況，采取對(duì)齒廓進(jìn)行二次修形的方式來(lái)降低初始段的側(cè)隙。同樣使用boundary函數(shù)提取出剛輪的共軛點(diǎn)，假設(shè)此時(shí)剛輪的共軛曲線(xiàn)的橫坐標(biāo)為xca2 ，則修形量表示為
那么經(jīng)過(guò)二次修形后柔輪的齒頂輪廓表達(dá)式為：
剛輪的齒頂輪廓表達(dá)為：
將二次修形后的柔輪齒廓代入嚙合矩陣Mcf，查看剛輪初始段的側(cè)隙情況。
通過(guò)圖7可以看到剛輪初始端依然存在過(guò)度修形的情況，但此時(shí)上端的側(cè)隙分布已經(jīng)處于0.5μm以下，屬于合理范圍之內(nèi)，故不再對(duì)凸齒廓進(jìn)行第三次修形。至此，柔輪與剛輪的凸齒廓修形完畢。根據(jù)修形后的剛輪凸齒廓，通過(guò)使用嚙合矩陣 Mfc，采用剛輪包絡(luò)柔輪的方法，計(jì)算出剛輪的運(yùn)動(dòng)軌跡。同樣采用boundary函數(shù)提取柔輪的共軛點(diǎn)，通過(guò)這種方式，可以得到與剛輪凸齒廓共軛的柔輪凹齒廓。
用上述的方法同樣可以求解剛輪凹齒廓，基于柔輪的運(yùn)動(dòng)軌跡，通過(guò)柔輪凸齒廓求解剛輪的共軛凹齒廓。
表2為本文齒廓設(shè)計(jì)的參數(shù)，下面將對(duì)本文提到的兩種平面設(shè)計(jì)的齒廓進(jìn)行嚙合性能分析，主要從傳動(dòng)側(cè)隙、共軛區(qū)域及瞬時(shí)傳動(dòng)比展開(kāi)分析。
側(cè)隙分析：柔輪的嚙合狀態(tài)的好壞可以大致通過(guò)齒廓側(cè)隙這個(gè)指標(biāo)來(lái)判斷。從側(cè)隙的大小與分布可以初步判斷傳動(dòng)過(guò)程中穩(wěn)定性，齒間載荷分布于是否產(chǎn)生干涉。首先建立側(cè)隙計(jì)算模型。通過(guò)將齒廓曲線(xiàn)離散成點(diǎn)，求解當(dāng)波發(fā)生器旋轉(zhuǎn)過(guò)一定角度下時(shí)，每個(gè)柔輪齒廓與剛輪齒廓間的最小距離即為側(cè)隙lfc。
通過(guò)圖11的左側(cè)可以看到凸齒廓與凹齒廓間存在空白區(qū)域，這是由于初始映射角非零導(dǎo)致的，因此在最終的齒廓中使用直線(xiàn)過(guò)渡段將兩段齒廓連接。因?yàn)閯傒喤c柔輪的凹齒廓是在凸齒廓的基礎(chǔ)上施加間隙調(diào)整量后得到的，因此剛輪與柔輪齒廓在完全嚙合狀態(tài)下間隙均勻穩(wěn)定。
由于通過(guò)改進(jìn)法修形后得到的齒廓曲線(xiàn)在凸齒廓頂端存在一定的過(guò)度修形，因此在完全嚙合狀態(tài)下兩齒廓的間隙呈現(xiàn)出中間大、兩邊小的趨勢(shì)。由于改進(jìn)法的凹齒廓是根據(jù)共軛點(diǎn)求得的，因此沒(méi)有明顯的連接空白區(qū)域。
從圖13可以看出，與傳統(tǒng)法相比，改進(jìn)法設(shè)計(jì)下的齒廓側(cè)隙整體更小，且更加平穩(wěn)。傳統(tǒng)S型齒廓設(shè)計(jì)方法由于凹齒廓是直接由凸齒廓映射所得，因此在嚙合區(qū)整體側(cè)隙偏大，而在嚙入?yún)^(qū)的側(cè)隙則有所下降。由于改進(jìn)法設(shè)計(jì)下的S型齒廓在凸齒廓初始端存在一定的過(guò)度修形，因此在嚙合區(qū)的側(cè)隙相對(duì)于嚙入?yún)^(qū)有所上升，但上升的幅度較小，整體側(cè)隙分布情況趨于穩(wěn)定，在一定程度上提高了回轉(zhuǎn)精度。
嚙合區(qū)域分析：柔輪齒廓與剛輪齒廓的嚙合大致可以分為2個(gè)區(qū)域：1)嚙合區(qū)。此時(shí)柔輪凸齒廓與剛輪凹齒廓間會(huì)產(chǎn)生嚙合，與此同時(shí)柔輪凹齒廓與剛輪凸齒廓同樣將發(fā)生接觸。2)嚙入?yún)^(qū)。柔輪凸齒廓與剛輪凸齒廓間在這個(gè)區(qū)間內(nèi)將產(chǎn)生嚙合，此區(qū)域也是諧波傳動(dòng)的主要嚙合區(qū)。因此計(jì)算嚙合區(qū)間時(shí)需要進(jìn)行分段求解。 兩種修形方法計(jì)算出的嚙合區(qū)間如圖14所示。 由于傳統(tǒng)修形法的凹齒廓采用直接映射的方式，因此凸齒廓與凹齒廓在嚙合的過(guò)程中不發(fā)生接觸，因此在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有兩段凸齒廓發(fā)生共軛，因此該設(shè)計(jì)方法下只有一段嚙合區(qū)間。而改進(jìn)法下的凹齒廓是根據(jù)運(yùn)動(dòng)軌跡包絡(luò)求得的，因此即使是在嚙合區(qū)內(nèi)也有較好的接觸情況。兩種修形方法均在[9.334°，55.645°]的區(qū)間內(nèi)發(fā)生共軛，而通過(guò)改進(jìn)法設(shè)計(jì)的柔輪齒廓，在[2.154°，7.18°]區(qū)間實(shí)現(xiàn)了兩點(diǎn)共軛，與此同時(shí)柔輪的凸齒廓在[2.154°，8.975°]和 [9.334°，55.645°]區(qū)間上分別實(shí)現(xiàn)了與剛輪凹齒廓與凸齒廓間的嚙合，實(shí)現(xiàn)了二次共軛，證明了改進(jìn)法設(shè)計(jì)的齒廓增大了共軛區(qū)域，降低了柔輪嚙合過(guò)程中的軸向應(yīng)力，提高了傳動(dòng)效率，使得傳動(dòng)更加可靠，在一定程度上延長(zhǎng)了減速器的使用壽命。
瞬時(shí)傳動(dòng)比：通過(guò)平均積分角速度求得的傳動(dòng)比只能從宏觀(guān)角度上描述諧波減速器的運(yùn)動(dòng)狀況，但實(shí)際上諧波減速器的瞬時(shí)傳動(dòng)比是變化的。瞬時(shí)傳動(dòng)比的波動(dòng)會(huì)直接影響減速器運(yùn)行的穩(wěn)定性，而傳動(dòng)比誤差既來(lái)源于中性層曲線(xiàn)的形狀也取決于齒廓曲線(xiàn)。如圖15所示，當(dāng)波發(fā)生器固定時(shí)，若柔輪非變形端以恒定角速度ω1回轉(zhuǎn)，則在變形端上的點(diǎn)c將以瞬時(shí)角速度ω1c圍繞中性層曲線(xiàn)在c點(diǎn)處的曲率中心os 回轉(zhuǎn)，由于線(xiàn)速度相等，故有
若剛輪的角速度設(shè)為ω2，此時(shí)的瞬時(shí)傳動(dòng)比將表示為
其中，i為理論傳動(dòng)比，其大小為
根據(jù)Willis定理，若兩齒廓的接觸點(diǎn)為k，則經(jīng)過(guò)k點(diǎn)的公法線(xiàn)與瞬時(shí)回轉(zhuǎn)中心連接線(xiàn)oos的交點(diǎn)p就是瞬時(shí)嚙合節(jié)點(diǎn)。故嚙合節(jié)點(diǎn)的瞬時(shí)傳動(dòng)比可以表示為
因?yàn)閮煞N修形方法均采用相同的中性層曲線(xiàn)，故原始曲線(xiàn)誤差相同。通過(guò)式(34)和式(36)可以發(fā)現(xiàn)瞬時(shí)傳動(dòng)比的波動(dòng)幅度在一定程度上與瞬時(shí)曲率中心直接關(guān)聯(lián)，通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)中性層半徑越大，徑向變形量越小，瞬時(shí)傳動(dòng)比就越趨于穩(wěn)定。
由于諧波減速器多齒嚙合的特性，其傳動(dòng)誤差將會(huì)被均化，因此對(duì)求解得到的瞬時(shí)傳動(dòng)比曲線(xiàn)積分后進(jìn)行疊加。計(jì)算后發(fā)現(xiàn)改進(jìn)法設(shè)計(jì)下的齒廓傳動(dòng)誤差為3.96%，而傳統(tǒng)修S型齒廓誤差為3.962%。相對(duì)于傳統(tǒng)S型齒廓，改進(jìn)法設(shè)計(jì)下的齒廓傳動(dòng)誤差略有降低，性能提升了約0.05%，這也意味著齒廓曲線(xiàn)對(duì)于瞬時(shí)傳動(dòng)比的影響較小。同時(shí)在誤差曲線(xiàn)積分時(shí)發(fā)現(xiàn)，嚙合齒數(shù)也是影響傳動(dòng)誤差的關(guān)鍵因素。隨著嚙合齒數(shù)的增加，原始曲線(xiàn)的誤差將逐漸趨向于0，此時(shí)傳動(dòng)誤差將主要體現(xiàn)為齒廓曲線(xiàn)誤差，整體的傳動(dòng)誤差將得到明顯的降低。
本文提出了一種區(qū)別于傳統(tǒng)S型齒廓設(shè)計(jì)的方法。與傳統(tǒng)S型齒廓相比，改進(jìn)法設(shè)計(jì)的S型齒廓具有側(cè)隙更小、共軛區(qū)間更大、傳動(dòng)誤差更小的特點(diǎn)，可以滿(mǎn)足高精度場(chǎng)合下的使用要求。由于柔輪的軌跡曲線(xiàn)存在偏距，為了保證齒廓曲線(xiàn)連接的順滑性，齒廓的映射設(shè)區(qū)域應(yīng)不包含曲線(xiàn)上凹凸性突變的點(diǎn)，即映射起點(diǎn)應(yīng)為運(yùn)動(dòng)軌跡二階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，且為了保證原始齒廓有足夠的映射區(qū)域與齒廓間的平滑連接，變形系數(shù)k的取值范圍應(yīng)在[0.9，1.1]內(nèi)。齒廓的類(lèi)型對(duì)瞬時(shí)傳動(dòng)比的影響較小，而中性層曲線(xiàn)的類(lèi)型，中性層半徑與徑向變形量對(duì)瞬時(shí)傳動(dòng)比的影響較大，在設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)優(yōu)先考慮大半徑、小變形量的設(shè)計(jì)方案。
作業(yè)來(lái)說(shuō)，精度較高，所以該控制器可實(shí)現(xiàn)良好的軌跡跟蹤控制。
本文針對(duì)飛機(jī)牽引系統(tǒng)的自動(dòng)控制問(wèn)題進(jìn)行研究，設(shè)計(jì)了基于Fareh控制策略的非線(xiàn)性控制器，通過(guò)控制牽引點(diǎn)的速度大小與方向來(lái)實(shí)現(xiàn)飛機(jī)的軌跡跟蹤與姿態(tài)調(diào)節(jié)。通過(guò)MATLAB/Simscape對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真模擬，驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)控制器的可行性。
參考文獻(xiàn)：略。
0 引言
諧波減速器具有減速比大、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、精度高等優(yōu)點(diǎn)，因此被廣泛應(yīng)用于機(jī)器人、航空航天和軍事等對(duì)于精度要求較高的領(lǐng)域。目前在嚙合理論方面，主流的方法有基于Willis定理的包絡(luò)法、改進(jìn)運(yùn)動(dòng)學(xué)法和瞬心線(xiàn)法。在諧波傳動(dòng)齒廓方面主要出現(xiàn)過(guò)直線(xiàn)齒廓、漸開(kāi)線(xiàn)齒廓、圓弧齒廓及S型齒廓。直線(xiàn)齒廓是諧波傳動(dòng)的發(fā)明者M(jìn)usser提出的，但該齒形沒(méi)有考慮柔輪的變形所引起的位移與轉(zhuǎn)角誤差。漸開(kāi)線(xiàn)齒廓的研究已趨于成熟，但在諧波運(yùn)動(dòng)的嚙合過(guò)程中由于共軛嚙合區(qū)域較小，且會(huì)產(chǎn)生尖點(diǎn)嚙合情況，這些會(huì)造成接觸點(diǎn)應(yīng)力的急劇增大，大幅縮短齒廓壽命。圓弧齒廓是目前國(guó)內(nèi)研究最多的齒廓齒形，與漸開(kāi)線(xiàn)齒廓相比，其具有嚙合齒數(shù)多的優(yōu)點(diǎn)， 改善了應(yīng)力狀況與嚙合質(zhì)量，但雙圓弧齒廓的側(cè)隙不均勻，部分區(qū)域存在側(cè)隙較大的情況。S型齒廓由日本學(xué)者Ishikawa等在1989年基于齒條近似法提出，根據(jù)映射關(guān)系可以實(shí)現(xiàn)與同類(lèi)齒廓的連續(xù)接觸。但這類(lèi)齒廓大多都是在無(wú)窮齒數(shù)下的近似設(shè)計(jì)，并未考慮實(shí)際運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的轉(zhuǎn)角影響。基于此，本文綜合考慮了諧波傳動(dòng)的彈性變形、齒輪偏轉(zhuǎn)角、波發(fā)生器類(lèi)型等因素，根據(jù)運(yùn)動(dòng)件的幾何關(guān)系和嚙合矩陣，通過(guò)曲線(xiàn)映射的方式得到原始凸齒廓，根據(jù)改進(jìn)法對(duì)原始齒廓進(jìn)行修形，接著根據(jù)修形完成的凸齒廓求解兩段凹齒廓，并最終與傳統(tǒng)S型齒廓進(jìn)行對(duì)比。
1 S型齒的齒廓設(shè)計(jì)
柔輪與剛輪間轉(zhuǎn)角關(guān)系：固定波發(fā)生器坐標(biāo)系，并以波發(fā)生器的回轉(zhuǎn)中心o為原點(diǎn)，長(zhǎng)軸為y軸，建立坐標(biāo)系，則波發(fā)生器、柔輪、剛輪之間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖1所示。
式中：k為徑向變形系數(shù)，m為模數(shù)，rm為柔輪的中性層半徑。
rm大小可以通過(guò)柔輪分度圓半徑求解：
波發(fā)生器裝配后迫使柔輪發(fā)生變形，其中柔輪輪齒的法向轉(zhuǎn)角可以表示為
根據(jù)中性層不伸長(zhǎng)理論，其柔輪變形后轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)應(yīng)與未變形前掃過(guò)的弧長(zhǎng)保持一致，因此有
為了便于計(jì)算，因此整理時(shí)忽略其高階項(xiàng)，通過(guò)計(jì)算其一階近似積分可以得到
根據(jù)理論傳動(dòng)比可以得到
其余的轉(zhuǎn)角關(guān)系可以通過(guò)圖1中的幾何關(guān)系可得：
表1 諧波傳動(dòng)各角度參數(shù)含義
傳動(dòng)齒廓設(shè)計(jì)：根據(jù)齒條近似法原理，當(dāng)剛輪的齒數(shù)無(wú)窮大時(shí)，此時(shí)柔輪將相對(duì)于剛輪沿著運(yùn)動(dòng)軌跡平移。圖2為齒條近似原理圖，其中AB曲線(xiàn)為柔輪相對(duì)于剛輪的運(yùn)動(dòng)軌跡，將A點(diǎn)作為映射的起始點(diǎn)，將B點(diǎn)作為映射的結(jié)束點(diǎn)，按照0.5倍的比例進(jìn)行曲線(xiàn)映射，得到了剛輪凸齒廓BC與柔輪凸齒廓AC，由于曲線(xiàn)映射的關(guān)系，柔輪與剛輪齒廓均保留了運(yùn)動(dòng)軌跡的特征，即柔輪凸齒廓與剛輪凸齒廓間將實(shí)現(xiàn)連續(xù)嚙合。其中柔輪中性層在剛輪坐標(biāo)下的運(yùn)動(dòng)軌跡AB 的軌跡方程表示為：
由于原始曲線(xiàn)在(-π/2，π/2)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡存在偏距點(diǎn)，考慮到齒廓間連接的順滑性，因此設(shè)計(jì)段內(nèi)不能包含凹凸性突變的情況，因此映射的起始角度ηd應(yīng)取運(yùn)動(dòng)軌跡二階導(dǎo)數(shù)為0時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，假設(shè)偏距點(diǎn)為d，則e為曲線(xiàn)映射的截止點(diǎn)，其角度可以表達(dá)為ηe=arccos(1-2h*a /k)，其中h*a為齒頂高系數(shù)。因此原始剛輪凸齒廓表達(dá)式為：
原始柔輪凸齒廓表達(dá)式為：
2 齒廓修形
傳統(tǒng)齒廓修形：在求解原始齒廓時(shí)，做了柔輪與剛輪的齒數(shù)均是無(wú)限的假設(shè)，然而在實(shí)際運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，柔輪齒廓除了沿著運(yùn)動(dòng)軌跡平移外還存在齒廓本身的旋轉(zhuǎn)角度，因此需要對(duì)原始齒廓進(jìn)行修形。根據(jù)坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)化原則，一開(kāi)始的原始曲線(xiàn)M是建立在中性層上面的，而柔輪的齒頂相對(duì)于剛輪的運(yùn)動(dòng)軌跡則需要建立在柔輪的分度圓上，因此運(yùn)動(dòng)軌跡M0需要在原始曲線(xiàn)M的基礎(chǔ)上向上平移一段h。h可以表示為
傳統(tǒng)的修形方法是假設(shè)理想嚙合條件下柔輪齒廓與剛輪齒廓的嚙合點(diǎn)為P，但由于轉(zhuǎn)角影響的存在，柔輪在嚙合點(diǎn)P處沿著N旋轉(zhuǎn)了ζ，從而柔輪與剛輪齒廓將產(chǎn)生干涉，干涉量可以通過(guò)嚙合點(diǎn)P的位移PB來(lái)表示。如圖4所示，F(xiàn)點(diǎn)為柔輪原始齒廓法線(xiàn)與中心線(xiàn)的交點(diǎn)，由于旋轉(zhuǎn)角度ξ較小，因此點(diǎn)P在轉(zhuǎn)角ξ的影響下產(chǎn)生的位移PB可以用弧長(zhǎng)FA代替，其表達(dá)式為
式中，lNF為線(xiàn)段NF的長(zhǎng)度。
lNF的表達(dá)式為
式中：(xP，yp )為P點(diǎn)坐標(biāo)，(xN，yN )為N點(diǎn)坐標(biāo)，α為接觸點(diǎn)壓力角。
α的計(jì)算公式為
因?yàn)?xi;較小，于是將上述弧長(zhǎng)FA近似看作齒廓x方向上的修型量，將其定義為Δx，將變形量平均分配給剛輪與柔輪，原始曲線(xiàn)的映射初始角為ηd，映射結(jié)束角度為ηe，因此柔輪齒頂輪廓的表達(dá)式為：
剛輪的齒頂輪廓表達(dá)為：
根據(jù)齒條近似法，柔輪與剛輪的凹齒廓同樣可以通過(guò)凸齒廓的映射所得到，但為了保證柔輪與剛輪齒廓嚙合的過(guò)程中不產(chǎn)生干涉，要在映射的齒廓上加入間隙調(diào)整量，于是柔輪的凸齒廓表達(dá)式為：
剛輪的凸齒廓表達(dá)式為：
由于映射起始點(diǎn)并不為0，因此凹齒廓與凸齒廓間存在空白區(qū)域，需要通過(guò)過(guò)渡直線(xiàn)連接，通過(guò)剛輪與柔輪兩端齒廓的端點(diǎn)，可以得到過(guò)渡直線(xiàn)段表達(dá)式：
式中，(xd1，yd1)和(xd2，yd2)為凸齒廓與凹齒廓表達(dá)式的端點(diǎn)。
傳統(tǒng)的S型齒廓修形方法嚙合區(qū)域較小，且側(cè)隙在嚙和區(qū)間內(nèi)變化較大，難以滿(mǎn)足對(duì)精度要高的場(chǎng)合，因此本文提供了一種新的修形方式來(lái)解決這些問(wèn)題。
改進(jìn)法齒廓修形：根據(jù)齒輪嚙合原理中的坐標(biāo)系變換原理，柔輪固定坐標(biāo)系可通過(guò)坐標(biāo)系變化矩陣Mcf和底矢變化矩陣Wcf變化到剛輪坐標(biāo)系，其中矩陣Mcf和矩陣Wcf表示為：
而剛輪坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到柔輪坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換矩陣Mfc和底矢變換矩陣Wfc分別表示為：
根據(jù)上述表達(dá)的矩陣，我們可以得到柔輪齒廓坐標(biāo)在剛輪固定坐標(biāo)系下的坐標(biāo)表達(dá)式為
同樣的剛輪齒廓坐標(biāo)點(diǎn)在柔輪坐標(biāo)系中的坐標(biāo)表達(dá)式為
為了分析原始柔輪凸齒廓相對(duì)于剛輪的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，直觀(guān)地反映裝配后諧波傳動(dòng)齒廓的嚙合情況，在將柔輪凸齒廓與剛輪凸齒廓分別轉(zhuǎn)換到各自坐標(biāo)系后使用嚙合矩陣Mcf，得到了圖5所示的(0，π)區(qū)間內(nèi)柔輪的運(yùn)動(dòng)軌跡圖。
通過(guò)boundary函數(shù)查找柔輪運(yùn)動(dòng)軌跡的邊緣輪廓，通過(guò)處理可以得到剛輪的共軛點(diǎn)。將剛輪的共軛齒廓與剛輪的原始齒廓間的差值作為修形量進(jìn)行第一次修形。假設(shè)剛輪的共軛曲線(xiàn)的橫坐標(biāo)為xca1，則修形量可以表示為
那么第一次修形后柔輪齒頂輪廓的表達(dá)式為：
剛輪的齒頂輪廓表達(dá)式為：
將第一次修形后的柔輪齒廓與剛輪齒廓再次代入嚙合矩陣Mcf中，并再次查看嚙合情況。
我們發(fā)現(xiàn)經(jīng)過(guò)第一次修形后剛輪凸齒廓末端嚙合情況較好，而初始端的側(cè)隙較大。這是因?yàn)樾扌螘r(shí)齒廓末端所采用的共軛點(diǎn)是由柔輪凸齒廓末端所構(gòu)成的，因此將此處的修形量均分給2段原始齒廓是合理的。然而初始端的共軛點(diǎn)并非由柔輪原始凸齒廓的初始端所構(gòu)成，因此在此處將其作為修形量不合理。針對(duì)這種情況，采取對(duì)齒廓進(jìn)行二次修形的方式來(lái)降低初始段的側(cè)隙。同樣使用boundary函數(shù)提取出剛輪的共軛點(diǎn)，假設(shè)此時(shí)剛輪的共軛曲線(xiàn)的橫坐標(biāo)為xca2 ，則修形量表示為
那么經(jīng)過(guò)二次修形后柔輪的齒頂輪廓表達(dá)式為：
剛輪的齒頂輪廓表達(dá)為：
將二次修形后的柔輪齒廓代入嚙合矩陣Mcf，查看剛輪初始段的側(cè)隙情況。
通過(guò)圖7可以看到剛輪初始端依然存在過(guò)度修形的情況，但此時(shí)上端的側(cè)隙分布已經(jīng)處于0.5μm以下，屬于合理范圍之內(nèi)，故不再對(duì)凸齒廓進(jìn)行第三次修形。至此，柔輪與剛輪的凸齒廓修形完畢。根據(jù)修形后的剛輪凸齒廓，通過(guò)使用嚙合矩陣 Mfc，采用剛輪包絡(luò)柔輪的方法，計(jì)算出剛輪的運(yùn)動(dòng)軌跡。同樣采用boundary函數(shù)提取柔輪的共軛點(diǎn)，通過(guò)這種方式，可以得到與剛輪凸齒廓共軛的柔輪凹齒廓。
用上述的方法同樣可以求解剛輪凹齒廓，基于柔輪的運(yùn)動(dòng)軌跡，通過(guò)柔輪凸齒廓求解剛輪的共軛凹齒廓。
表2 齒形設(shè)計(jì)與修形相關(guān)參數(shù)
表2為本文齒廓設(shè)計(jì)的參數(shù)，下面將對(duì)本文提到的兩種平面設(shè)計(jì)的齒廓進(jìn)行嚙合性能分析，主要從傳動(dòng)側(cè)隙、共軛區(qū)域及瞬時(shí)傳動(dòng)比展開(kāi)分析。
3 齒廓分析
側(cè)隙分析：柔輪的嚙合狀態(tài)的好壞可以大致通過(guò)齒廓側(cè)隙這個(gè)指標(biāo)來(lái)判斷。從側(cè)隙的大小與分布可以初步判斷傳動(dòng)過(guò)程中穩(wěn)定性，齒間載荷分布于是否產(chǎn)生干涉。首先建立側(cè)隙計(jì)算模型。通過(guò)將齒廓曲線(xiàn)離散成點(diǎn)，求解當(dāng)波發(fā)生器旋轉(zhuǎn)過(guò)一定角度下時(shí)，每個(gè)柔輪齒廓與剛輪齒廓間的最小距離即為側(cè)隙lfc。
由于通過(guò)改進(jìn)法修形后得到的齒廓曲線(xiàn)在凸齒廓頂端存在一定的過(guò)度修形，因此在完全嚙合狀態(tài)下兩齒廓的間隙呈現(xiàn)出中間大、兩邊小的趨勢(shì)。由于改進(jìn)法的凹齒廓是根據(jù)共軛點(diǎn)求得的，因此沒(méi)有明顯的連接空白區(qū)域。
從圖13可以看出，與傳統(tǒng)法相比，改進(jìn)法設(shè)計(jì)下的齒廓側(cè)隙整體更小，且更加平穩(wěn)。傳統(tǒng)S型齒廓設(shè)計(jì)方法由于凹齒廓是直接由凸齒廓映射所得，因此在嚙合區(qū)整體側(cè)隙偏大，而在嚙入?yún)^(qū)的側(cè)隙則有所下降。由于改進(jìn)法設(shè)計(jì)下的S型齒廓在凸齒廓初始端存在一定的過(guò)度修形，因此在嚙合區(qū)的側(cè)隙相對(duì)于嚙入?yún)^(qū)有所上升，但上升的幅度較小，整體側(cè)隙分布情況趨于穩(wěn)定，在一定程度上提高了回轉(zhuǎn)精度。
嚙合區(qū)域分析：柔輪齒廓與剛輪齒廓的嚙合大致可以分為2個(gè)區(qū)域：1)嚙合區(qū)。此時(shí)柔輪凸齒廓與剛輪凹齒廓間會(huì)產(chǎn)生嚙合，與此同時(shí)柔輪凹齒廓與剛輪凸齒廓同樣將發(fā)生接觸。2)嚙入?yún)^(qū)。柔輪凸齒廓與剛輪凸齒廓間在這個(gè)區(qū)間內(nèi)將產(chǎn)生嚙合，此區(qū)域也是諧波傳動(dòng)的主要嚙合區(qū)。因此計(jì)算嚙合區(qū)間時(shí)需要進(jìn)行分段求解。 兩種修形方法計(jì)算出的嚙合區(qū)間如圖14所示。 由于傳統(tǒng)修形法的凹齒廓采用直接映射的方式，因此凸齒廓與凹齒廓在嚙合的過(guò)程中不發(fā)生接觸，因此在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有兩段凸齒廓發(fā)生共軛，因此該設(shè)計(jì)方法下只有一段嚙合區(qū)間。而改進(jìn)法下的凹齒廓是根據(jù)運(yùn)動(dòng)軌跡包絡(luò)求得的，因此即使是在嚙合區(qū)內(nèi)也有較好的接觸情況。兩種修形方法均在[9.334°，55.645°]的區(qū)間內(nèi)發(fā)生共軛，而通過(guò)改進(jìn)法設(shè)計(jì)的柔輪齒廓，在[2.154°，7.18°]區(qū)間實(shí)現(xiàn)了兩點(diǎn)共軛，與此同時(shí)柔輪的凸齒廓在[2.154°，8.975°]和 [9.334°，55.645°]區(qū)間上分別實(shí)現(xiàn)了與剛輪凹齒廓與凸齒廓間的嚙合，實(shí)現(xiàn)了二次共軛，證明了改進(jìn)法設(shè)計(jì)的齒廓增大了共軛區(qū)域，降低了柔輪嚙合過(guò)程中的軸向應(yīng)力，提高了傳動(dòng)效率，使得傳動(dòng)更加可靠，在一定程度上延長(zhǎng)了減速器的使用壽命。
瞬時(shí)傳動(dòng)比：通過(guò)平均積分角速度求得的傳動(dòng)比只能從宏觀(guān)角度上描述諧波減速器的運(yùn)動(dòng)狀況，但實(shí)際上諧波減速器的瞬時(shí)傳動(dòng)比是變化的。瞬時(shí)傳動(dòng)比的波動(dòng)會(huì)直接影響減速器運(yùn)行的穩(wěn)定性，而傳動(dòng)比誤差既來(lái)源于中性層曲線(xiàn)的形狀也取決于齒廓曲線(xiàn)。如圖15所示，當(dāng)波發(fā)生器固定時(shí)，若柔輪非變形端以恒定角速度ω1回轉(zhuǎn)，則在變形端上的點(diǎn)c將以瞬時(shí)角速度ω1c圍繞中性層曲線(xiàn)在c點(diǎn)處的曲率中心os 回轉(zhuǎn)，由于線(xiàn)速度相等，故有
其中，i為理論傳動(dòng)比，其大小為
根據(jù)Willis定理，若兩齒廓的接觸點(diǎn)為k，則經(jīng)過(guò)k點(diǎn)的公法線(xiàn)與瞬時(shí)回轉(zhuǎn)中心連接線(xiàn)oos的交點(diǎn)p就是瞬時(shí)嚙合節(jié)點(diǎn)。故嚙合節(jié)點(diǎn)的瞬時(shí)傳動(dòng)比可以表示為
因?yàn)閮煞N修形方法均采用相同的中性層曲線(xiàn)，故原始曲線(xiàn)誤差相同。通過(guò)式(34)和式(36)可以發(fā)現(xiàn)瞬時(shí)傳動(dòng)比的波動(dòng)幅度在一定程度上與瞬時(shí)曲率中心直接關(guān)聯(lián)，通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)中性層半徑越大，徑向變形量越小，瞬時(shí)傳動(dòng)比就越趨于穩(wěn)定。
由于諧波減速器多齒嚙合的特性，其傳動(dòng)誤差將會(huì)被均化，因此對(duì)求解得到的瞬時(shí)傳動(dòng)比曲線(xiàn)積分后進(jìn)行疊加。計(jì)算后發(fā)現(xiàn)改進(jìn)法設(shè)計(jì)下的齒廓傳動(dòng)誤差為3.96%，而傳統(tǒng)修S型齒廓誤差為3.962%。相對(duì)于傳統(tǒng)S型齒廓，改進(jìn)法設(shè)計(jì)下的齒廓傳動(dòng)誤差略有降低，性能提升了約0.05%，這也意味著齒廓曲線(xiàn)對(duì)于瞬時(shí)傳動(dòng)比的影響較小。同時(shí)在誤差曲線(xiàn)積分時(shí)發(fā)現(xiàn)，嚙合齒數(shù)也是影響傳動(dòng)誤差的關(guān)鍵因素。隨著嚙合齒數(shù)的增加，原始曲線(xiàn)的誤差將逐漸趨向于0，此時(shí)傳動(dòng)誤差將主要體現(xiàn)為齒廓曲線(xiàn)誤差，整體的傳動(dòng)誤差將得到明顯的降低。
4 結(jié)論
本文提出了一種區(qū)別于傳統(tǒng)S型齒廓設(shè)計(jì)的方法。與傳統(tǒng)S型齒廓相比，改進(jìn)法設(shè)計(jì)的S型齒廓具有側(cè)隙更小、共軛區(qū)間更大、傳動(dòng)誤差更小的特點(diǎn)，可以滿(mǎn)足高精度場(chǎng)合下的使用要求。由于柔輪的軌跡曲線(xiàn)存在偏距，為了保證齒廓曲線(xiàn)連接的順滑性，齒廓的映射設(shè)區(qū)域應(yīng)不包含曲線(xiàn)上凹凸性突變的點(diǎn)，即映射起點(diǎn)應(yīng)為運(yùn)動(dòng)軌跡二階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，且為了保證原始齒廓有足夠的映射區(qū)域與齒廓間的平滑連接，變形系數(shù)k的取值范圍應(yīng)在[0.9，1.1]內(nèi)。齒廓的類(lèi)型對(duì)瞬時(shí)傳動(dòng)比的影響較小，而中性層曲線(xiàn)的類(lèi)型，中性層半徑與徑向變形量對(duì)瞬時(shí)傳動(dòng)比的影響較大，在設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)優(yōu)先考慮大半徑、小變形量的設(shè)計(jì)方案。
作業(yè)來(lái)說(shuō)，精度較高，所以該控制器可實(shí)現(xiàn)良好的軌跡跟蹤控制。
4 結(jié)語(yǔ)
本文針對(duì)飛機(jī)牽引系統(tǒng)的自動(dòng)控制問(wèn)題進(jìn)行研究，設(shè)計(jì)了基于Fareh控制策略的非線(xiàn)性控制器，通過(guò)控制牽引點(diǎn)的速度大小與方向來(lái)實(shí)現(xiàn)飛機(jī)的軌跡跟蹤與姿態(tài)調(diào)節(jié)。通過(guò)MATLAB/Simscape對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真模擬，驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)控制器的可行性。
參考文獻(xiàn)：略。